[논문 리뷰] Suppression of Quasiperiodicity in Circle Maps with Quenched Disorder

David Müller-Bender, Johann Luca Kastner외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 04. 20.

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation참고 문헌 76인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 열역학적 한계에서 원형 맵의 고정된 불순성(disorder)이 준주기적 역학을 억제함으로써 전체 역행성 매개변수 공간에서 거의 확실하게 모드-락킹(mode-locking)을 유도함을 보여준다. 공간적으로 상관된 불순성을 매끄럽게 처리된 무작위 위치 증분을 통해 도입함으로써, 시스템 크기 L → ∞일 때 준주기적 실현의 비율은 0으로 수렴하며, 아르놀트- tongues(Arnold tongues)는 지배적인 모드-락킹 행동으로 대체된다.

ABSTRACT

We show that introducing quenched disorder into a circle map leads to the suppression of quasiperiodic behavior in the limit of large system sizes. Specifically, for most parameters the fraction of disorder realizations showing quasiperiodicity decreases with the system size and eventually vanishes in the limit of infinite size, where almost all realizations show mode-locking. Consequently, in this limit, and in strong contrast to standard circle maps, almost the whole parameter space corresponding to invertible dynamics consists of Arnold tongues.

연구 동기 및 목표

• 고정된 공간적 불순성이 원형 맵의 동역학적 행동, 특히 준주기성의 억제에 미치는 영향을 조사하는 것.
• 불순성이 원형 맵의 장기적 통계적 성질, 예를 들어 이동 속도와 리아푸노프 지수에 어떻게 영향을 미치는지 파악하는 것.
• 불순성 평균화된 양의 유한 체적 스케일링 및 열역학적 한계에서의 수렴성을 분석하는 것.
• 고정된 불순성 하에서 무한대 시스템 크기 근처에서 준주기적 역학이 지속되는지 여부를 명확히 하는 것.
• L → ∞의 극한에서, 모든 매개변수 값에 대해 거의 확실하게 모든 불순성 실현이 모드-락킹을 유도함을 입증하는 것.

제안 방법

• 이산적인 위치 증분 τ(x)를 i.i.d. ±1 기호를 가진 매끄러운 이항 신호 χω(x)로부터 유도된 고정된 무작위 함수 τω(x)로 대체하여 불순성이 있는 원형 맵을 구성하는 것.
• 표준편차 ς² = 0.04인 가우시안 커널 Gς를 사용한 컨볼루션을 통해 τω(x)를 정의함으로써, 0 ≤ A ≤ 1 범위에서 맵 Rω(x) = x + τω(x)의 단조성 보장.
• 주기적 경계 조건을 사용하여 둘레 길이 L인 원 위에서 맵을 정의하며, 동역학은 xn+1 = [xn + τω(xn)] mod L로 제어됨.
• L → ∞ 근처에서의 수렴성을 평가하기 위해, 불순성 평균화된 이동 속도와 리아푸노프 지수의 유한 체적 스케일링 분석 수행.
• 수치 시뮬레이션을 통해 시스템 크기 L에 따른 준주기적 역학을 보이는 불순성 실현의 비율을 계산하는 것.
• τω(x)의 공분산 함수를 통해 불순성의 공간적 상관 길이 l을 정의하고, 결과가 L에 비해 l에 따라 어떻게 달라지는지 분석하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 불순성이 열역학적 한계에서 원형 맵의 준주기적 역학을 억제하는가?
• RQ2 준주기적 역학을 보이는 불순성 실현의 비율은 시스템 크기 L에 따라 어떻게 스케일링되는가?
• RQ3 L → ∞ 근처에서 불순성 평균화된 이동 속도와 리아푸노프 지수는 잘 정의되고 수렴하는가?
• RQ4 불순성의 공간적 상관 길이가 시스템 크기 대비 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 원형 맵의 전체 역행성 매개변수 공간이 고정된 불순성 하에서 무한대 크기 근처에서 아르놀트- tongues로 지배되는가?

주요 결과

• 준주기적 역학을 보이는 불순성 실현의 비율은 시스템 크기 L이 증가함에 따라 감소하며, L → ∞ 근처에서 0으로 수렴한다.
• 무한대 크기 근처에서, 거의 확실하게 모든 불순성 실현이 모드-락킹을 유도하며, 이는 전체 역행성 매개변수 공간이 아르놀트- tongues로 지배됨을 의미한다.
• L → ∞ 근처에서 불순성 평균화된 이동 속도와 리아푸노프 지수는 고유하고 잘 정의된 극한 값으로 수렴하며, 이는 고정된 불순성 집합에서 에르고딕-유사 행동을 나타낸다.
• 준주기성의 억제가 위치 증분 τω(x)가 불순성의 공간적 상관 길이를 초과할 때 발생하며, 이는 관찰된 행동에 필수적인 조건이다.
• 거의 모든 매개변수 값에 대해 무한대 크기 근처에서 리아푸노프 지수는 음수를 유지하며, 이는 주어진 조건 하에서 모드-락킹 역학이 확인됨을 뒷받침한다.
• 시스템 크기 L을 무한대로 보내는 동안 각 L 크기의 단위 세포 내에서 불순성 실현을 고정함으로써, 잘 정의된 고정된 불순성 극한을 확보할 수 있다.