[논문 리뷰] Sur la cohomologie d'un fibre tautologique sur le schema de Hilbert d'une surface

Gentiana Danila|arXiv (Cornell University)|1999. 04. 01.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 2인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 복소수 위의 매끄럽고 사영인 표면 $X$ 의 구점 Hilbert 스킴 $X^{[m]}$ 에서 타우토로지컬 번들의 결정식 번들에 의해 휘어진 코homology 를 계산한다. 포함관계 다양체 $X^{[m,m+1]}$ 에서의 재귀적 추론과 Kodaira vanishing 정리, 스펙트럴 시퀀스를 적용하여, $ω_X^{-1} \otimes A$, $ω_X^{-1} \otimes L \otimes A$, 및 $A$ 가 앰플리터일 조건 하에 고차 코homology 가 사라지고, 전역 단위의 공간이 $S^{m-1}(H^0(A)) \otimes H^0(X, L \otimes A)$ 와 동형임을 증명한다. 이는 $π}^2$ 에서 Le Potier 의 이상 이중성 추측을 지지한다. 결과는 $A = \mathcal{O}_X$ 인 경우로 일반화되어, $ω_X^{-1}$ 과 $ω_X^{-1} \otimes L$ 이 앰플리터일 경우 $H^0(X^{[m]}, L^{[m]}) \cong H^0(X, L)$ 인 공식을 얻는다.

ABSTRACT

We compute the cohomology spaces for the tautological bundle tensor the determinant bundle on the punctual Hilbert scheme H of subschemes of length n of a smooth projective surface X. We show that for L and A invertible vector bundles on X, and w the canonical bundle of X, if $w^{-1}\otimes L$, $w^{-1}\otimes A$ and A are ample vector bundles, then the higher cohomology spaces on H of the tautological bundle associated to L tensor the determinant bundle associated to A vanish, and the space of global sections is computed in terms of $H^0(A)$ and $H^0(L\otimes A)$. This result is motivated by the computation of the space of global sections of the determinant bundle on the moduli space of rank 2 semi-stable sheaves on the projective plane, supporting Le Potier's Strange duality conjecture on the projective plane.

연구 동기 및 목표

• 매끄럽고 사영인 복소수 위의 표면 $X$ 의 구점 Hilbert 스킴 $X^{[m]}$ 에서 타우토로지컬 번들와 결정식 번들에 의해 휘어진 코homology 를 계산하는 것.
• 일부 캐논칼 및 선형 번지의 텐서 거듭제곱에 대한 앰플리터 조건 하에 고차 코homology 군의 퇴적을 확립하는 것.
• 전역 단위의 공간이 $H^0(A)$ 와 $H^0(X, L \otimes A)$ 에 대해 명시적인 공식을 유도하여 Le Potier 의 이상 이중성 추측을 지지하는 것.
• $A = \mathcal{O}_X$ 인 경우로 일반화하여, $ω_X^{-1}$ 과 $ω_X^{-1} \otimes L$ 이 앰플리터일 경우 $H^0(X^{[m]}, L^{[m]})$ 의 공식을 도출하는 것.

제안 방법

• 길이가 각각 $m$ 과 $m+1$ 인 쌍 $(Z, \xi)$ 를 매개변수화하는 포함관계 다양체 $X^{[m,m+1]} \subset X^{[m+1]} \times X^{[m]}$ 의 사용.
• Leray 스펙트럴 시퀀스와 K"unneth 공식을 적용하여 $X^{[m,m+1]}$ 의 코homology 를 $X^{[m]} \times X$ 와 $X^{[m+1]}$ 의 코homology 와 연결하는 것.
• 사영 $q: X^{[m,m+1]} \to X$ 는 $(Z, \xi)$ 를 $Z$ 와 $\xi$ 가 다름을 보이는 유일한 점으로 보내는 $p_m: X^{[m,m+1]} \to X^{[m]}$ 과 $p_{m+1}: X^{[m,m+1]} \to X^{[m+1]}$ 의 사상과 함께 $m$ 에 대한 귀납법을 사용하는 것.
• Kodaira 퇴적 정리를 적용하여, $ω_X^{-1} \otimes A$ 와 $ω_X^{-1} \otimes L \otimes A$ 가 앰플리터일 경우 $H^q(X, A) = 0$ 과 $H^q(X, L \otimes A) = 0$ 이 $q > 0$ 에 대해 성립함을 유도하는 것.
• 대칭 거듭제곱 구조와 대칭군 작용에 대한 불변 이론을 이용하여, $H^0(X^{[m]}, L^{[m]} \otimes d_A^m) \cong S^{m-1}(H^0(A)) \otimes H^0(X, L \otimes A)$ 의 동형을 사용하는 것.
• 결정식 번들 $d_A^m = HC_*((A \boxtimes \cdots \boxtimes A)^{S_m})$ 는 $A$ 와 관련된 것으로, $L^{[m]} = p_{1*}(\mathcal{O}_{\Xi_m} \otimes p_2^*L)$ 는 타우토로지컬 번들임을 이용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 $L$ 과 $A$ 가 $X^{[m]}$ 의 구점 Hilbert 스킴에서 $L^{[m]} \otimes d_A^m$ 의 고차 코homology 가 사라지는가?
• RQ2 전역 단위의 공간이 $H^0(A)$ 와 $H^0(X, L \otimes A)$ 에 대해 명시적으로 계산될 수 있는가?
• RQ3 $X^{[m]}$ 에서 고차 코homology 의 퇴적은 $π}^2$ 에서 Le Potier 의 이상 이중성 추측과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 $A = \mathcal{O}_X$ 일 때, $ω_X^{-1}$ 과 $ω_X^{-1} \otimes L$ 이 앰플리터일 조건 하에 $H^0(X^{[m]}, L^{[m]})$ 의 구조는 어떠한가?
• RQ5 포함관계 다양체 $X^{[m,m+1]}$ 를 사용하여 코homology 계산을 재귀적 추론으로 줄일 수 있는가?

주요 결과

• $\u03c9_X^{-1} \otimes A$, $\u03c9_X^{-1} \otimes L \otimes A$, 및 $A$ 가 앰플리터일 경우, 모든 $q > 0$ 에 대해 $H^q(X^{[m]}, L^{[m]} \otimes d_A^m) = 0$ 이다.
• 전역 단위의 공간은 $H^0(X^{[m]}, L^{[m]} \otimes d_A^m) \cong S^{m-1}(H^0(A)) \otimes H^0(X, L \otimes A)$ 를 만족한다.
• $A = \mathcal{O}_X$ 일 경우 결과는 $H^0(X^{[m]}, L^{[m]}) \cong H^0(X, L)$ 로 줄어들며, 이는 $\u03c9_X^{-1}$ 과 $\u03c9_X^{-1} \otimes L$ 이 앰플리터일 조건 하에 성립한다.
• $H^q(X^{[m]}, d_A^m)$ 가 $q > 0$ 에 대해 퇴적하는 것은 $ω_X^{-1} \otimes A$ 의 앰플리터성에 의해, Kawamata-Viehweg 정리에 의해 증명된다.
• $X = \mathbb{P}^2$, $L = \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(3)$, $A = \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(1)$ 일 경우, 양의 차수에서 코homology 가 사라지고 전역 단위는 $S^{m-1}(H^0(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(1))) \otimes H^0(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(4))$ 가 된다.
• $X^{[m,m+1]}$ 의 재귀적 구조와 스펙트럴 시퀀스의 사용은 $X^{[m+1]}$ 의 코homology 를 $X^{[m]} \times X$ 와 $X^{[m]}$ 의 코homology 로 줄이는 데 성공한다.