[논문 리뷰] Sur la densité des représentations cristallines du groupe de Galois absolu de Q_p

Gaëtan Chenevier|arXiv (Cornell University)|2010. 12. 13.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 7인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 $p$-진 해석적 공간에서 반단순 갈루아 표현 $ {Gal}(ar{bQ}_p/bQ_p) \to \r{GL}_d(ar{bQ}_p)$ 를 매개변수화하는 공간의 많은 기약 성분들 속에서 결정형 표현의 자리지-밀도를 확립한다. 이는 Colmez와 Kisin의 $d=2$ 결과를 일반화한 것이다. 로바 바 반에서의 보편적인 프레임드, 정규 삼각형 $(\varphi,\Gamma)$-모듈러스와 Fontaine-Herr 코homology를 사용하여, 콜먼의 모듈러 형식 가족과 유사한 국소적 가족 이론을 구축한다. 이를 통해 로바 바 반에서의 보편적인 프레임드, 정규 삼각형 $(\varphi,\Gamma)$-모듈러스의 존재를 확립하고, 결정형 $(\varphi,\Gamma)$-모듈러스가 이 보편 가족 내에서 자리지-밀도임을 증명한다. 또한 $p$-진 갈루아 표현의 맥락에서 에이전드 커브 이론의 국소적 유사체를 제공한다.

ABSTRACT

Let X_d be the p-adic analytic space classifying the d-dimensional (semisimple) p-adic Galois representations of the absolute Galois group of Q_p. We show that the crystalline representations are Zarski-dense in many irreducible components of X_d, including the components made of residually irreducible representations. This extends to any dimension d previous results of Colmez and Kisin for d = 2. For this we construct an analogue of the infinite fern of Gouvêa-Mazur in this context, based on a study of analytic families of trianguline (phi,Gamma)-modules over the Robba ring. We show in particular the existence of a universal family of (framed, regular) trianguline (phi,Gamma)-modules, as well as the density of the crystalline (phi,Gamma)-modules in this family. These results may be viewed as a local analogue of the theory of p-adic families of finite slope automorphic forms, they are new already in dimension 2. The technical heart of the paper is a collection of results about the Fontaine-Herr cohomology of families of trianguline (phi,Gamma)-modules.

연구 동기 및 목표

• 결정형 표현의 밀도 결과를 차원 $d=2$ 에서 임의의 $d$ 로 확장하기.
• 삼각형 $(\varphi,\Gamma)$-모듈러스에 대한 국소적 $p$-진 가족 이론을 콜먼의 모듈러 형식 가족과 유사하게 구축하기.
• 로바 바 반에서의 보편적인 프레임드, 정규 삼각형 $(\varphi,\Gamma)$-모듈러스의 존재를 확립하기.
• 결정형 $(\varphi,\Gamma)$-모듈러스가 이 보편 가족 내에서 자리지-밀도임을 증명하기.
• $p$-진 갈루아 표현의 맥락에서 에이전드 커브 이론의 국소적 유사체를 제공하기.

제안 방법

• 변형 이론을 사용하여 로바 바 반에서의 보편적인 프레임드, 정규 삼각형 $(\varphi,\Gamma)$-모듈러스를 구성한다.
• Fontaine-Herr 코homology를 적용하여 삼각형 $(\varphi,\Gamma)$-모듈러스의 가족과 그 결정형 특수화를 연구한다.
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실험 결과

연구 질문

• RQ1 결정형 표현의 집합은 반단순 갈루아 표현을 매개변수화하는 $p$-진 해석적 공간 $\mathfrak{X}_d$ 의 기약 성분들 내에서 자리지-밀도인가?
• RQ2 임의의 $d$ 에 대해 로바 바 반에서의 보편적인 프레임드, 정규 삼각형 $(\varphi,\Gamma)$-모듈러스를 구성할 수 있는가?
• RQ3 이 보편 가족 내에서 결정형 $(\varphi,\Gamma)$-모듈러스는 자리지-밀도인가?
• RQ4 국소적 맥락에서의 무한한 페르니 구조는 결정형 점들이 조밀하고 집적되는 구조를 제공하는가?
• RQ5 삼각형 $(\varphi,\Gamma)$-모듈러스를 사용하여 $p$-진 갈루아 표현의 국소적 가족 이론을 $d > 2$ 차원으로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 로바 바 반에서의 보편적인 프레임드, 정규 삼각형 $(\varphi,\Gamma)$-모듈러스 내에서 결정형 표현은 자리지-밀도이다.
• 모든 $d$ 에 대해 $\bbQ_p$ 의 유한 확대 $L$ 이 존재하여, $X(L)$ 내의 결정형 점들이 자리지-밀도이고 $X$ 에서 집적되며, 여기서 $X$ 는 잔여적으로 기약 갈루아 표현의 보편 변형 환과 관련된 라이지드 해석적 공간이다.
• 이 맥락에서의 무한한 페르니 구조는 $S$ 라는 매끄럽고 $4$-차원의 $p$-진 해석적 공간으로 실현되며, $X$ 로의 사상 $\pi: S \to X$ 를 가지며, $\pi(S)$ 는 모든 결정형 점을 포함한다.
• 모든 비예외적 결정형 점은 $S$ 에 정확히 두 개의 역상이 있으며, 이들은 $S$ 내에서 자리지-밀도이고 집적되며, 각각의 이러한 점에 대한 올에서의 조밀성을 보장한다.
• $\pi: S \to X$ 는 국소적으로 해석적 임bedding 이며, 비예외적 결정형 점을 통과하는 두 개의 결정형 점 가족은 서로 혼동되지 않으며, 이는 콜먼의 두 개의 $p$-진 모듈러 형식 가족에 대한 국소적 유사체를 반영한다.
• 삼각형 $(\varphi,\Gamma)$-모듈러스의 가족에 대한 Fontaine-Herr 코homology는 결정형 특수화의 밀도를 증명하는 데 기초를 제공하며, 이는 $d=2$ 에서의 결과를 임의의 $d$ 로 일반화한다.