[논문 리뷰] Surface codes, quantum circuits, and entanglement phases

Jan Behrends, Florian Venn외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 12. 15.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 이중 차원 표면 코드의 오류 수정 단계와 일차원 자유 페르미온 양자 회로에서의 얽힘 단계 사이의 이중성을 수립한다. 비트 플립 또는 일관된 X-회전 오류 하에서 표면 코드를 2차원 랜덤-바인드 이징 모델으로 매핑하고, 전이 행렬과 산산이 흩어지는 네트워크를 통해 1차원 양자 회로로 변환함으로써, 저자들은 오류 수정 단계가 장시간 상태에서 위상적으로 비자명한 면적 법칙으로 매핑됨을 보여주며, 임계값을 초과할 경우 비일관된 오류는 자명한 면적 법칙을, 일관된 오류는 로그 스케일링의 얽힘을 유도함을 밝혀낸다.

ABSTRACT

Surface codes$\unicode{x2014}$leading candidates for quantum error correction (QEC)$\unicode{x2014}$and entanglement phases$\unicode{x2014}$a key notion for many-body quantum dynamics$\unicode{x2014}$have heretofore been unrelated. Here, we establish a link between the two. We map two-dimensional (2D) surface codes under a class of incoherent or coherent errors (bit flips or uniaxial rotations) to $(1+1)$D free-fermion quantum circuits via Ising models. We show that the error-correcting phase implies a topologically nontrivial area law for the circuit's 1D long-time state $|Ψ_\infty angle$. Above the error threshold, we find a topologically trivial area law for incoherent errors and logarithmic entanglement in the coherent case. In establishing our results, we formulate 1D parent Hamiltonians for $|Ψ_\infty angle$ via linking Ising models and 2D scattering networks, the latter displaying respective insulating and metallic phases and setting the 1D fermion gap and topology via their localization length and topological invariant. We expect our results to generalize to a duality between the error-correcting phase of ($d+1$)D topological codes and $d$-dimensional area laws; this can facilitate assessing code performance under various errors. The approach of combining Ising models, scattering networks, and parent Hamiltonians can be generalized to other fermionic circuits and may be of independent interest.

연구 동기 및 목표

• 표면 코드에서의 양자 오류 수정(QEC) 단계와 양자 회로에서의 얽힘 단계 사이의 이론적 연결을 수립하기 위해.
• 이징 모델 이중성에 기반해 비일관된(비트 플립) 및 일관된(회전) 오류 하에서 2차원 표면 코드를 1차원 자유 페르미온 양자 회로로 매핑하기 위해.
• 장시간 진화 상태 |Ψ∞⟩의 얽힘 구조를 면적 법칙과 위상적 불변량을 기반으로 특성화하기 위해.
• QEC 단계가 위상적으로 비자명한 1차원 단계에 대응하는 반면, 비-QEC 단계는 오류 유형에 따라 다릅니다.
• 이중성을 고차원 위상적 코드와 그에 관련된 면적 법칙으로 일반화하기 위해.

제안 방법

• 기존의 이중성에 의해 X 오류 하에서 2차원 표면 코드를 2차원 랜덤-바인드 이징 모델(RBIMs)으로 매핑하기 위해.
• RBIM의 전이 행렬을 1+1차원 양자 회로 해밀토니안으로 간주하여 장시간 근사에서의 동역학 가능하게 하기 위해.
• 일관된 오류의 경우, 2차원 이징 모델과 복소 결합을 가진 2차원 산산이 흩어지는 네트워크 사이의 추가 이중성을 통해 매핑을 확장하기 위해.
• 산산이 흩어지는 네트워크의 국소화 길이와 위상 불변량을 사용하여 장시간 상태 |Ψ∞⟩의 1차원 부모 해밀토니안을 구성하기 위해.
• 양자 얽힘 스펙트럼의 0 모드와 위상 불변량(예: Z2 지표)을 사용하여 1차원 상태의 위상적 질서를 진단하기 위해.
• 얽힘 엔트로피 스케일링 분석: QEC 단계에서는 면적 법칙, 일관된 경우 임계값 초과 시 로그 스케일링.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2차원 표면 코드의 오류 수정 단계는 1차원 양자 회로에서 위상적 얽힘 단계로 매핑될 수 있는가?
• RQ2 비일관된 오류와 일관된 오류 하에서 장시간 상태 |Ψ∞⟩의 얽힘 엔트로피는 어떻게 스케일링되는가?
• RQ3 이징 모델과 산산이 흩어지는 네트워크 이중성은 표면 코드 동역학과 1차원 페르미온 시스템을 어떻게 연결하는가?
• RQ4 1차원 시스템의 위상 불변량은 QEC 임계값과 산산이 흩어지는 네트워크의 국소화 성질과 관련이 있는가?
• RQ5 이 이중성은 고차원 위상적 코드와 그에 관련된 면적 법칙으로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 표면 코드의 QEC 단계는 비자명한 1차원 단계로 매핑되며, 얽힘 스펙트럼의 0 모드가 비영임을 보여준다.
• 비일관된 비트 플립 오류의 경우, 장시간 상태 |Ψ∞⟩는 QEC 임계값 초과 시 위상적으로 자명한 면적 법칙을 나타낸다.
• 일관된 X-회전 오류의 경우, 임계값 초과 시 시스템 크기의 로그 스케일링에 따라 얽힘 엔트로피가 증가하여 임계 단계임을 시사한다.
• 장시간 상태 |Ψ∞⟩의 1차원 부모 해밀토니안은 산산이 흩어지는 네트워크를 통해 구성되며, 이 네트워크의 절연체 또는 금속성 단계는 1차원 상태의 위상적 또는 자명한 성질을 나타낸다.
• 1차원 시스템의 위상 불변량은 2차원 산산이 흩어지는 네트워크의 국소화 길이와 Z2 지표와 연결되며, QEC 단계의 위상적 안정성을 확인한다.
• 이 이중성은 (d+1)차원 위상적 코드와 d차원 면적 법칙을 연결하는 일반적 프레임워크를 제안하며, 다양한 오류 모델 하에서 성능 평가 가능성을 제공한다.