[논문 리뷰] Surface group representations in PU(p,q) and Higgs bundles

Steven B. Bradlow, Oscar Garcı́a-Prada외 1명|arXiv (Cornell University)|2002. 11. 27.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 31인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 표면 군 기본군의 $\mathrm{PU}(p,q)$-표현의 모듈리 공간의 위상수학을 $L^2$-노름을 이용한 모스-보츠 함수로서 히그스 장의 노름을 사용하여 연구한다. 국소 최소값을 정규화된 힐버트 트리플의 모듈리 공간으로 식별함으로써, 서로소 조건을 만족하는 각 위상적 불변량에 대해 해당 성분이 비어 있지 않고 연결되어 있음을 증명하며, 기본 영역 내 정수 격점의 수를 통해 연결 성분을 완전히 세는 결과를 도출한다.

ABSTRACT

Using the L^2 norm of the Higgs field as a Morse function, we study the moduli spaces of U(p,q)-Higgs bundles over a Riemann surface. We require that the genus of the surface be at least two, but place no constraints on (p,q). A key step is the identification of the function's local minima as moduli spaces of holomorphic triples. In a companion paper "Moduli spaces of holomorphic triples over compact Riemann surfaces" (math.AG/0211428) we prove that these moduli spaces of triples are non-empty and irreducible. Because of the relation between flat bundles and fundamental group representations, we can interpret our conclusions as results about the number of connected components in the moduli space of semisimple PU(p,q)-representations. The topological invariants of the flat bundles are used to label subspaces. These invariants are bounded by a Milnor-Wood type inequality. For each allowed value of the invariants satisfying a certain coprimality condition, we prove that the corresponding subspace is non-empty and connected. If the coprimality condition does not hold, our results apply to the closure of the moduli space of irreducible representations. This paper, and its companion mentioned above, form a substantially revised version of math.AG/0206012.

연구 동기 및 목표

• 표면 군 기본군의 반단순 $\mathrm{PU}(p,q)$-표현의 모듈리 공간의 위상수학을 이해하는 것.
• $\mathrm{U}(p,q)$-힐버트 번들의 히그스 장의 $L^2$-노름을 이용한 모스 이론을 적용하여 모듈리 공간의 연결 성분을 연구하는 것.
• 모스 함수의 국소 최소값을 정규화된 힐버트 트리플의 모듈리 공간으로 식별함으로써, 힐버트 번들 안정성과 표현 이론 사이의 연결 고리를 확립하는 것.
• 도수 및 토울레 불변량과 같은 위상적 불변량을 사용하여 표현 다양체의 연결 성분을 분류하는 것. 이때 서로소 조건을 고려한다.
• 허용 가능한 불변량으로 표시된 각 성분이 비어 있지 않고 연결되어 있음을 증명하며, 유한 영역 내 정수 격점의 수를 통해 연결 성분을 완전히 세는 것.

제안 방법

• 모듈리 공간의 $\mathrm{U}(p,q)$-힐버트 번들에 대해 히그스 장의 $L^2$-노름을 적절한 모스-보츠 함수로 사용하는 것.
• 이 함수의 국소 최소값을 정규화된 힐버트 트리플의 모듈리 공간으로 식별하며, 안정성 조건과 게이지 이론적 구성 방법을 활용하는 것.
• 평탄한 $\mathrm{U}(p,q)$-번들의 표현과 $\mathrm{PU}(p,q)$-표현 사이의 대응을 이용하여 결과를 표현 다양체로 이행하는 것.
• 위상적 불변량의 기본 영역 $\Omega$를 $(a,b)$-평면에서 기술하며, 경계는 밀너-우드 부등식에 의해 정의되는 것.
• $\Omega_{\mathbb{Z}}$ 내 정수 격점의 수를 세는 방법을 사용하여 연결 성분을 분류하며, 일정한 토울레 불변량 $t$를 갖는 직선 $l_t$를 사용하는 것.
• 성분이 기약 표현에 대응하는지 여부를 결정하기 위해 조건 $\mathrm{GCD}(a+b, n/k) = 1$을 분석하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표면 군의 반단순 $\mathrm{PU}(p,q)$-표현의 모듈리 공간은 몇 개인가?
• RQ2 연결 성분을 표시하는 위상적 불변량은 무엇이며, 어떤 값이 허용되는가?
• RQ3 히그스 장의 $L^2$-노름이 어떻게 모듈리 공간의 위상을 탐지하는 데 모스 함수로 기능하는가?
• RQ4 언제 $\mathrm{PU}(p,q)$-기약 표현의 모듈리 공간이 비어 있지 않고 연결되어 있는가?
• RQ5 토울레 불변량과 정규화된 힐버트 트리플의 모듈리 공간의 구조 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 기본 영역 $\Omega_{\mathbb{Z}}$ 내의 각 정수 점 $(a,b)$는 $\mathrm{PU}(p,q)$-표현의 모듈리 공간에 대응하는 연결 성분을 가진다.
• 연결 성분의 수는 $\Omega_{\mathbb{Z}}$ 내 정수 점의 집합과 일대일 대응되며, 이는 밀너-우드 부등식으로 유한하게 제한된다.
• $(a,b) \in \Omega_{\mathbb{Z}}$로 표시된 각 성분은 $\mathrm{GCD}(a+b, n/k) = 1$이면 비어 있지 않고 연결되어 있다. 여기서 $k = \mathrm{GCD}(p,q)$이다.
• $\mathrm{GCD}(a+b, n/k) \neq 1$일 경우, 해당 성분은 기약 표현의 모듈리 공간의 폐쇄에 대응한다.
• 관련 선형 번들의 도수 $d = a + b$ 는 $-n(g-1) \leq d < n$ 를 만족하며, 이러한 모든 값이 실현된다.
• 고정된 토울레 불변량 $t$에 대해 $l_t \cap \Omega_{\mathbb{Z}}$ 내에는 정확히 $k = \mathrm{GCD}(p,q)$개의 정수 점이 있으며, 각 직선 내에서 $a+b$와 $n$의 서로소 조건은 일관되게 유지된다.