[논문 리뷰] Surface groups in uniform lattices of some semi-simple groups

Jeremy Kahn, François Labourie외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 25.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 16인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 중심이 없는 복소 단순 비가환 리 군의 균일 격자에서 표면 부분군의 존재성을 입증하기 위해 $K$-수울리 맵을 기반으로 하는 새로운 기하적 프레임워크를 도입한다—이것은 고계수 대칭 공간에서의 $K$-준원형의 일반화이다. 이 맵들이 허더 연속임을 증명하고, 등변 $ζ$-수울리 맵이 아노소프 표현을 암시함으로써, 극한 맵이 부드러운 원에 임의로 가까워질 수 있는 표면 부분군 정리의 정량적 형태를 도출한다.

ABSTRACT

We show that uniform lattices in some semi-simple groups (notably complex ones) admit Anosov surface subgroups. This result has a quantitative version: we introduce a notion, called $K$-Sullivan maps, which generalizes the notion of $K$-quasi-circles in hyperbolic geometry, and show in particular that Sullivan maps are Hölder. Using this notion, we show a quantitative version of our surface subgroup theorem and in particular that one can obtain $K$-Sullivan limit maps, as close as one wants to smooth round circles. All these results use the coarse geometry of "path of triangles" in a certain flag manifold and we prove an analogue to the Morse Lemma for quasi-geodesics in that context.

연구 동기 및 목표

• 고전적 $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{C})$ 경우를 초월하여 복소 단순 비가환 리 군의 균일 격자에서 표면 부분군의 존재성을 확립하는 것.
• 플래그 다각형과 $\mathfrak{sl}_2$-삼중항을 기반으로 하는 새로운 기하적 프레임워크를 사용하여 칸-마르코비치 정리를 고계수 리 군으로 일반화하는 것.
• 새로운 $ζ$-수울리 맵을 도입하고 그 정(regularity)과 역다이나믹스적 함의를 증명함으로써 표면 부분군 정리의 정량적 형태를 제공하는 것.
• $\zeta$-수울리 맵이 $\alpha$-허더 연속임을 보이고, 푸크시안 군에 대한 등변성 조건이 아노소프 표현을 암시함을 보이는 것.
• 주요 결과의 범위를 확장하기 위해 $\mathrm{PU}(p,q)$($q>p>0$)와 같은 복소가 아닌 군으로 이론을 확장하는 것.

제안 방법

• $\mathbb{P}^1(\mathbb{R})$에서 플래그 다각형 $\mathbf{F}$로의 $K$-수울리 맵을 정의한다. 이 맵은 원 위의 임의의 세 점이 거리 $d_\tau$를 정의하며, 이 거리에서 맵이 원에 일정하게 가까이 유지됨을 보장한다.
• 플래그 다각형 $\mathbf{F}$ 내의 '삼각형의 경로'의 추상 기하학을 이용하여 $\zeta$-수울리 맵의 행동을 분석하고, 이 맥락에서 준지오데식선에 대한 모어스 유사 보조정리(Morse-type lemma)를 수립한다.
• $\zeta$-수울리 맵이 어떤 $\alpha > 0$에 대해 $\alpha$-허더 연속임을 증명함으로써, 사전 연속성 조건 없이도 정규성을 확립한다.
• 만일 코컴팩트 푸크시안 군 $\Gamma$의 표현 $\rho$가 $\rho$-등변 $\zeta$-수울리 맵을 갖는다면, $\rho$는 $\mathbf{F}$-아노소프이며, 이 맵은 그의 극한 곡선이다.
• 스펙트럼 갭 결과를 통해 격자 작용의 지수적 혼합성(예: 스펙트럼 갭)을 응용하여 플래그 다각형의 기하학을 제어하고, 균일성 및 비가역성 조건 하에서 이러한 맵의 존재를 확보한다.
• 토러스에서 일반적인 컴acts symmetric spaces로의 결과 확장을 위해 귀납법과 거리 비교 기법(예: $\ell_1$ 곱 거리 및 레비-프로코르프 거리)을 사용하여 측도 간의 거리에 대한 정량적 유계를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고계수 단순 비가환 리 군의 균일 격자에서 $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{C})$를 초월해 표면 부분군을 구성할 수 있는가?
• RQ2 고계수 대칭 공간에서 $K$-준원형과 $K$-준대칭 맵의 적절한 일반화는 무엇인가?
• RQ3 극한 곡선을 일반화하는 플래그 다각형으로의 등변 맵의 정(regularity, 예: 허더 연속성)을 어떻게 확보할 수 있는가?
• RQ4 $\zeta$-수울리 맵의 존재가 표현이 아노소프임을 암시하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 극한 맵이 부드러운 원에 임의로 가까워지도록 구성이 정량화될 수 있는가?

주요 결과

• $\zeta$-수울리 맵은 어떤 $\alpha > 0$에 대해 $\alpha$-허더 연속이며, 사전 연속성 조건 없이도 정규성을 확립한다.
• 코컴팩트 푸크시안 군 $\Gamma$의 표현 $\rho$가 $\rho$-등변 $\zeta$-수울리 맵을 갖는다면, $\rho$는 $\mathbf{F}$-아노소프이며, 이 맵은 그의 극한 곡선이다.
• 중심이 없는 복소 단순 비가환 리 군 $\mathsf{G}$의 임의의 균일 격자 $\Gamma$에 대해, $\Gamma$ 안에 표면 부분군이 존재한다. 이는 칸-마르코비치 정리의 일반화이다.
• 모든 $K$-수울리 맵을 사용하여, $K$가 1에 가까워질수록 극한 맵을 플래그 다각형에서 부드러운 원에 임의로 가까이 옮길 수 있다.
• 이 구성은 정량적이다: 임의의 $\kappa > 0$에 대해, $\zeta$가 존재하여 $\zeta$-수울리 맵이 $d(\phi \cdot \mu, \overline{\phi} \cdot \mu) \leq \kappa \cdot \mathrm{diam}(\mathsf{T}^1)$를 만족함을 보장하여 측도 왜곡을 제어한다.
• 스펙트럼 갭 결과를 통한 격자 작용의 지수적 혼합성은 균일성 및 비가역성 조건 하에서 이러한 맵의 존재를 보장하는 데 사용된다.