[논문 리뷰] Surface Topological Order and a new 't Hooft Anomaly of Interaction Enabled 3+1D Fermion SPTs

Lukasz Fidkowski, Ashvin Vishwanath외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 23.

Parallel Computing and Optimization TechniquesComputer Science인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 단위 대칭에 의해 보호되는 3+1차원 페르미온 대칭 보호 상태(SPT)에서 새로운 't Hooft 이상을 규명한다. 이 경우 표면은 anyon 순열이 비정상적이며, $H^3(G, \mathbb{Z}_2)$로 분류되는 위상적 순서를 나타낸다. 저자들은 $\mathbb{Z}_4$ 게이지 이론을 통해 표면 위상적 순서를 구성하고, anyon 위에 작용하는 대칭—특히 비자명한 브레딩 및 융합 통계—이 고립된 상태에서 실현될 수 없음을 입증하며, 이는 양상 SPT가 이상을 상쇄하기 위해 필요하다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

Symmetry protected topological (SPT) phases are well understood in the context of free fermions and in the context of interacting but essentially bosonic models. Recently it has been realized that intrinsically fermionic SPTs exist which only appear in interacting models. Here we show that the 3+1 dimensional realizations of these phases have surface states characterized by a new 't Hooft anomaly, captured by a $H^3(G, Z_2)$ class. This is encoded in the anomalous action of symmetry on the surface states with topological order, which must necessarily permute the anyons. We discuss in detail an example with symmetry group $G = Z_2 imes Z_4$. Using a network model of the surface we derive a candidate surface topological order given by a $Z_4$ gauge theory. We relate our findings to anomalies valued in $H^3$ with various coefficients introduced previously in both bosonic and fermionic settings, and describe a general framework that unifies these various anomalies.

연구 동기 및 목표

• 순수한 단위 대칭에 의해 보호되는 3+1차원 페르미온 SPT의 표면 위상적 순서(STO)를 이해하는 것, 특히 자유 페르미온 또는 보존적 유사체가 존재하지 않는 경우에 중점을 두는 것.
• 기존의 보존계에서 알려진 $H^4(G,U(1))$ 이상과는 다름없이, 페르미온 SPT에 새로운 종류의 't Hooft 이상을 식별하고 특성화하는 것.
• 표면 anyon에서의 이상적인 대칭 작용과 양상 SPT 간의 관계를 설정하는 프레임워크를 수립하는 것. 이 경우 $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_4$ 대칭군을 구체적인 예로 사용한다.
• 페르미온 및 보존 이상을 통합하기 위해, anyon 순열에 대한 $H^3(G,A)$ 이상이 둘 다의 설정에서 공통된 특징임을 보여주는 것.

제안 방법

• 표면 위상적 순서의 후보로 $\mathbb{Z}_4$ 게이지 이론을 실현하는 표면 네트워크 모델을 구성한다.
• 특히 $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_4$ 군에 의한 anyon 순열이 비정상적인 대칭 실현을 유도하는 anyon 위의 대칭 작용을 분석한다.
• S-행렬과 베르린데 공식을 사용하여 anyon 융합 대수의 특성치를 유도하고, $\omega_a = M^*_{ab}$를 만족하는 아벨 anyon $b$를 식별하여 위상적 순서와의 일관성을 확보한다.
• 대칭 분획화가 2+1차원에서 고립된 상태로 실현될 수 없음을 보여줌으로써, 이상이 $H^3(G, \mathbb{Z}_2)$의 클래스로 기록됨을 증명한다. 여기서 $G = \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_4$이다.
• 페르미온 이상을 보존계의 $H^4(G,U(1))$ 분류와 연결하기 위해, $H^3(G,A)$와 $H^4(G,U(1))$ 이상을 모두 포함하는 일반화된 프레임워크를 제시한다.
• 양상에서의 몰입-반몰입 터널링 과정이 표면에서 비자명한 $\mathbb{Z}_2$ 전하 변화를 유도함으로써, anyon 브레딩 통계의 물리적 실현을 통해 이상을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 순수한 단위 대칭에 의해 보호되는 3+1차원 페르미온 SPT는 어떤 종류의 표면 위상적 순서를 실현하는가?
• RQ2 표면 anyon에서의 대칭 작용은 어떻게 비정상적인가? 이 이상을 기술하는 코homology 클래스는 무엇인가?
• RQ3 $H^3(G, \mathbb{Z}_2)$ 이상이 2+1차원 표면 이론에서 일관되게 실현될 수 있는가? 이는 양상 SPT와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 표면 이상 측면에서 $\sigma \in H^2(G, \mathbb{Z}_2)$ 및 $\rho \in H^3(G, \mathbb{Z}_2)$를 가진 페르미온 SPT와 보존 SPT는 어떻게 다를까?
• RQ5 페르미온 시스템에서의 $H^3(G,A)$ 이상과 보존 시스템에서의 $H^4(G,U(1))$ 이상을 연결하는 통합 프레임워크는 무엇인가?

주요 결과

• 표면에 $G = \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_4$ 대칭이 작용하는 3+1차원 페르미온 SPT는 위상적 순서로서 $\mathbb{Z}_4$ 게이지 이론을 실현하며, anyon $1, e, m, \mu$와 비자명한 anyon 브레딩을 포함한다.
• 대칭 작용은 anyon을 비정상적으로 순열하며, 이 이상은 고립된 상태에서 실현될 수 없으며, $H^3(G, \mathbb{Z}_2)$의 비자명한 클래스로 분류된다.
• 이상은 $\mathbb{Z}_2$ 및 $\mathbb{Z}$ 대칭의 생성자가 anyon $m^2$에서 반교환되며, 이는 양상의 몰입 터널링 과정을 모방한다.
• 저자들은 $N^c_{ab} \neq 0$이면 $\omega_a \omega_b = \omega_c$를 만족하고 $\omega_f = 1$이면, 어떤 아벨 anyon $b$에 대해 $\omega_a = M^*_{ab}$로 표현될 수 있음을 증명한다. 이 표현은 페르미온 anyon $f$와의 융합에 대해 유일하다.
• $H^3(G, \mathbb{Z}_2)$ 이상은 페르미온 SPT에서 일반적인 특징이며, 보존계에서 알려진 $H^4(G,U(1))$ 이상을 일반화한다.
• 이 프레임워크는 $\sigma \neq 0$일 때 비자명한 페르미온 SPT 존재를 위한 조건으로서, anyon 분획화에 대한 $H^3(G,A)$ 이상이 반드시 필요하다는 것을 보여주며, 페르미온 및 보존 이상을 통합한다.