[논문 리뷰] Surfaces have (asymptotic) dimension 2

Marthe Bonamy, Nicolás Bousquet외 4명|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 07.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 27인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $K_{3,p}$를 소수로 포함하지 않는 그래프의 점 渐近 차원이 최대 2임을 증명한다. 이는 평면 그래프를 포함한 모든 고정된 표면에 임베딩 가능한 그래프가 점 渐近 차원 2를 가짐을 의미한다. 이 결과는 Fujiwara와 Papasoglu가 최근 제기한 질문을 해결하며, 리만 표면, 경로폭이 유계인 그래프(점 渐近 차원 ≤1), 경로폭이 유계인 층화된 그래프(점 渐近 차원 ≤2)로 확장되며, 소수폐쇄 클래스와 다항 성장 그래프에 응용된다.

ABSTRACT

The asymptotic dimension is an invariant of metric spaces introduced by Gromov in the context of geometric group theory. When restricted to graphs and their shortest paths metric, the asymptotic dimension can be seen as a large scale version of weak diameter colorings (also known as weak diameter network decompositions), i.e. colorings in which each monochromatic component has small weak diameter. In this paper, we prove that for any $p$, the class of graphs excluding $K_{3,p}$ as a minor has asymptotic dimension at most 2. This implies that the class of all graphs embeddable on any fixed surface (and in particular the class of planar graphs) has asymptotic dimension 2, which gives a positive answer to a recent question of Fujiwara and Papasoglu. Our result extends from graphs to Riemannian surfaces. We also prove that graphs of bounded pathwidth have asymptotic dimension at most 1 and graphs of bounded layered pathwidth have asymptotic dimension at most 2. We give some applications of our techniques to graph classes defined in a topological or geometrical way, and to graph classes of polynomial growth. Finally we prove that the class of bounded degree graphs from any fixed proper minor-closed class has asymptotic dimension at most 2. This can be seen as a large scale generalization of the result that bounded degree graphs from any fixed proper minor-closed class are 3-colorable with monochromatic components of bounded size. This also implies that (infinite) Cayley graphs avoiding some minor have asymptotic dimension at most 2, which solves a problem raised by Ostrovskii and Rosenthal.

연구 동기 및 목표

• 고정된 표면에 임베딩 가능한 그래프의 점 渐近 차원을 결정함으로써 Fujiwara와 Papasoglu가 최근 제기한 열린 질문을 해결한다.
• $K_{3,p}$를 소수로 포함하지 않는 그래프의 클래스가 점 渐近 차원 최대 2를 가짐을 입증함으로써 평면 및 표면에 임베딩된 그래프에 대한 결과를 일반화한다.
• 경로폭이 유계인 그래프와 경로폭이 유계인 층화된 그래프에 대해 점 渐近 차원의 경계를 확장하며, 유계 차수의 소수폐쇄 클래스에 대해서도 적용한다.
• 점 渐진 차원, 약한 지름 색칠, 다항 성장 또는 유계 확장 성질을 가진 구조적 그래프 클래스 간의 관계를 조사한다.
• 소수폐쇄 클래스에 대한 3색칠 결과를 대규모로 일반화하여, 이러한 설정에서 단색 성분이 일관되게 유계인 약한 지름을 가짐을 보여준다.

제안 방법

• 저자는 약한 지름 네트워크 분해 기반의 정교한 분해 기법을 사용하며, $r$-불연속 커버와 $D(r)$-유계 집합의 개념을 응용하여 점 渐진 차원을 제어한다.
• 메트릭 공간의 균일 메트리제이션에 관한 Brodskiy, Dydak, Le Donne, Mitra의 정리의 정량적 형태를 적용하여 분해에서 성분의 성장률을 제어한다.
• 그래프 미노르 구조 정리를 활용하여 $H$-소수를 포함하지 않는 그래프를 표면에 거의 임베딩 가능한 조각들로 분해하고, 이러한 조각들의 점 渐진 차원을 경계한다.
• 경로폭이 유계인 그래프의 경우, 트리 분해 기반 색칠 기법을 사용하여 약한 지름이 유계인 성분을 확보함으로써 점 渐진 차원이 최대 1이 됨을 도출한다.
• 층화된 경로폭의 경우, 층화된 분해와 반복 색칠 기법을 조합하여 단색 성분이 일관되게 유계인 약한 지름을 가지도록 보장한다.
• 유한 그래프에서 리만 표면으로의 결과 확장을 위해 이산화 기법을 사용하며, 이러한 표면의 점 渐진 차원 역시 2임을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Fujiwara와 Papasoglu가 추측한 바와 같이, 평면 그래프의 클래스는 점 渐진 차원 최대 2를 가지는가?
• RQ2 $K_{t}$-소수를 포함하지 않는 그래프의 점 渐진 차원은 $t$에 관계없이 유계일 수 있는가, 아니면 경계 $4^t$가 최적인가?
• RQ3 경로폭이 유계인 그래프는 점 渐진 차원 최대 1을 가지며, 경로폭이 유계인 층화된 그래프는 최대 2를 가지는가?
• RQ4 $q$-지방성 $K_t$-소수를 포함하지 않는 그래프의 점 渐진 차원은 $K_t$-소수를 포함하지 않는 그래프와 같은가?
• RQ5 모든 다항 성장 확장 그래프 클래스는 유계 점 渐진 차원을 가지는가?

주요 결과

• $K_{3,p}$를 소수로 포함하지 않는 그래프의 클래스는 점 渐진 차원 최대 2를 가지며, 이는 모든 고정된 표면에 임베딩 가능한 그래프가 점 渐진 차원 2를 가짐을 의미한다.
• 경로폭이 유계인 그래프의 점 渐진 차원은 최대 1이며, 경로폭이 유계인 층화된 그래프의 점 渐진 차원은 최대 2이다.
• 고정된 표면에 임베딩 가능한 모든 그래프의 클래스는 점 渐진 차원 2를 가지며, 이는 Fujiwara와 Papasoglu의 최근 추측을 확인한다.
• 유계 차수의 진정한 소수폐쇄 클래스에 속하는 그래프의 점 渐진 차원은 최대 2이며, 이는 3색칠 결과를 대규모 기하학으로 일반화한다.
• 다항 성장 그래프는 유계 점 渐진 차원을 가지며, 이러한 클래스는 하위선형 분리자를 가짐을 보여주며, 기존의 코arse 기하학 결과와 연결된다.
• 이 논문은 약한 지름 분해 기반의 통합 프레임워크를 통해 $K_t$-소수를 포함하지 않는 그래프 및 $q$-지방성 $K_t$-소수를 포함하지 않는 그래프의 점 渐진 차원에 대한 여러 열린 질문을 해결한다.