[논문 리뷰] Surfaces with parallel mean curvature in $\mathbb{C}P^n imes\mathbb{R}$ and $\mathbb{C}H^n imes\mathbb{R}$

Dorel Fetcu, Harold Rosenberg|arXiv (Cornell University)|2010. 11. 21.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 21인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 코심플렉틱 공간 형식, 특히 $\mathbb{C}P^n \times \mathbb{R}$ 및 $\mathbb{C}H^n \times \mathbb{R}$에서 평행 평균 곡률 벡터를 가진 표면에 대해 헬로모르픽 2차 미분형식을 도입한다. 비최소 anti-invariant pmc 2-구면이 이러한 공간에서 4차원 공간 형식과 $\mathbb{R}$의 곱에 놓여 있음을 증명하고, 이러한 표면이 각각 차원 11 또는 5 이내의 부분다양체에 놓여 있음을 보여주는 코디멘션 축소 정리를 수립한다.

ABSTRACT

We consider surfaces with parallel mean curvature vector (pmc surfaces) in $\mathbb{C}P^n imes\mathbb{R}$ and $\mathbb{C}H^n imes\mathbb{R}$, and, more generally, in cosymplectic space forms. We introduce a holomorphic quadratic differential on such surfaces. This is then used in order to show that the anti-invariant pmc $2$-spheres of a $5$-dimensional non-flat cosymplectic space form of product type are actually the embedded rotational spheres $S_H^2\subset\bar M^2 imes\mathbb{R}$ of Hsiang and Pedrosa, where $\bar M^2$ is a complete simply-connected surface with constant curvature. When the ambient space is a cosymplectic space form of product type and its dimension is greater than $5$, we prove that an immersed non-minimal non-pseudo-umbilical anti-invariant $2$-sphere lies in a product space $\bar M^4 imes\mathbb{R}$, where $\bar M^4$ is a space form. We also provide a reduction of codimension theorem for the pmc surfaces of a non-flat cosymplectic space form.

연구 동기 및 목표

• 높은 코디멘션과 비유클리드 환경에서의 pmc 표면 연구를 확장하고, 특히 복소 및 쌍곡적 곱 공간에서의 경우를 다루는 것.
• cmc 표면 이론에서 사용된 헬로모르픽 2차 미분형식 접근법을 코심플렉틱 공간 형식에서 pmc 표면로 일반화하는 것.
• $\mathbb{C}P^n\times\mathbb{R}$ 및 $\mathbb{C}H^n\times\mathbb{R}$에서 비최소 anti-invariant pmc 2-구면을 분류하고, 그것들이 낮은 차원의 곱에 놓여 있음을 보이는 것.
• 비평탄한 코심플렉틱 공간 형식에서 pmc 표면에 대한 코디멘션 축소 정리를 수립하여, 환경 차원이 최대 11 또는 5로 제한됨을 보이는 것.

제안 방법

• 코심플렉틱 공간 형식에서 pmc 표면에 대해 헬로모르픽 2차 미분형식 $Q$를 도입하고, 평균 곡률 벡터가 평행할 경우 그 $(2,0)$-부분이 헬로모르픽임을 증명한다.
• 리치 방정식과 거의 복소 구조 $\varphi$의 성질을 사용하여 특성 벡터장 $\xi$의 법선 및 탄성 성분을 분석한다.
• 평행 부분다양체 이론과 불변 부분다양체의 성질을 적용하여, $T\Sigma^2 \oplus L$이 곡률 연산자에 대해 평행하고 불변임을 보인다. 여기서 $L$은 법선 번들의 부분다양체이다.
• $\varphi$가 $T\Sigma^2 \oplus L$과 수직성을 유지함을 이용하여, 차원이 최대 5인 anti-invariant, 평행, 불변 부분다양체를 구성한다.
• [10] 및 [14]의 결과를 활용하여, $Q$와 $Q'$의 $(2,0)$-부분이 0이면서 비pseudo-umbilical인 anti-invariant pmc 표면의 경우 환경 차원을 최대 5로 축소한다.
• Alencar, do Carmo, Tribuzy [5]의 분류 결과를 적용하여, $\bar{M}^4(\frac{\rho}{4})\times\mathbb{R}$ 내에 임베딩된 회전형 cmc 구면을 식별한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비최소 anti-invariant pmc 2-구면이 $\mathbb{C}P^n \times \mathbb{R}$ 또는 $\mathbb{C}H^n \times \mathbb{R}$에서 낮은 차원의 곱 공간에 놓일 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ2 코심플렉틱 공간 형식에서 pmc 표면에 대해 헬로모르픽 2차 미분형식을 정의할 수 있으며, 그 $(2,0)$-부분이 헬로모르픽이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ3 비최소 pmc 표면이 비평탄한 코심플렉틱 공간 형식에서 임베딩될 수 있는 최대 코디멘션은 얼마인가?
• RQ4 비최소 비pseudo-umbilical anti-invariant pmc 표면이 $M^n(\rho)\times\mathbb{R}$에 존재할 경우, 반드시 4차원 공간 형식과 $\mathbb{R}$의 곱에 놓여 있는가?
• RQ5 $M^n(\rho)\times\mathbb{R}$에서 비최소 비pseudo-umbilical proper slant pmc 2-구면이 존재하는가?

주요 결과

• 코심플렉틱 공간 형식에서 pmc 표면에 대해 정의된 헬로모르픽 2차 미분형식 $Q$의 $(2,0)$-부분은 헬로모르픽이며, 분류에 핵심적인 도구가 된다.
• $M^2(\rho)\times\mathbb{R}$에서 비최소 anti-invariant pmc 2-구면은 임베딩된 회전형 cmc 구면 $S_H^2 \subset \bar{M}^2(\frac{\rho}{4})\times\mathbb{R}$이며, 여기서 $\bar{M}^2(\frac{\rho}{4})$는 곡률 $\frac{\rho}{4}$를 갖는 완전하고 단순연결된 표면이다.
• 5차원 이상의 환경에서 비최소 비pseudo-umbilical anti-invariant pmc 2-구면은 $\bar{M}^4(\frac{\rho}{4})\times\mathbb{R}$에 놓여 있으며, 이는 4차원 공간 형식과 $\mathbb{R}$의 곱이다.
• 제품 유형의 비평탄한 코심플렉틱 공간 형식에서 비최소 pmc 표면은 pseudo-umbilical이 아닌 한, 최대 차원 11인 전적으로 기하학적 불변 부분다양체에 놓여 있다.
• 만약 $Q$와 $Q'$의 $(2,0)$-부분이 0이라면, 비최소 비pseudo-umbilical anti-invariant pmc 표면은 최대 차원 5인 전적으로 기하학적 불변 anti-invariant 부분다양체에 놓여 있다.
• 결과 [17]에 따르면 복소 공간 형식에서의 모순을 피하기 위해, $M^n(\rho)\times\mathbb{R}$에는 비최소 비pseudo-umbilical proper slant pmc 2-구면이 존재하지 않는다.