[논문 리뷰] Surgery operations to fold maps to construct fold maps whose singular value sets may have crossings

Naoki Kitazawa|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 06.

Topological and Geometric Data Analysis인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 다양한 미분다양체 위에 접선 맵(fold maps)을 구성하기 위해 새로운 수술 연산(surgery operations)을 도입한다. 이러한 맵의 특이값 집합은 교차를 나타낸다. 이 수술들을 적용하고 결과로 생긴 리브 공간(Reeb spaces)을 분석함으로써, 저자들은 이러한 공간의 코homology 링(cohomology rings)에 대해 명시적인 정보를 도출하며, 특이점 이론과 미분위상론에서 접선 맵과 그 위상적 불변량(topological invariants)에 대한 이해를 진전시킨다.

ABSTRACT

Constructing Morse functions and their higher dimensional versions or fold maps is fundamental, important and challenging in investigating the topologies and the differentiable structures of differentiable manifolds via Morse functions, fold maps and more general generic maps. It is one of important and interesting branches of the singularity theory of differentiable maps and applications to geometry of manifolds. In this paper we present fold maps with information of cohomology rings of their Reeb spaces. Reeb spaces are defined as the spaces of all connected components of all preimages, and in suitable situations inherit topological information such as homology groups and cohomology rings of the manifolds. Previously, the author demonstrated construction of fold maps in various cases : key methods are surgery operations to manifolds and maps and in this paper, we present more useful surgery operations and by them we construct new fold maps. More precisely, fold maps with singular value sets with crossings: the singular value set of a smooth map is the image of the set of all singular points and note that for fold maps, the set of all singular points are closed submanifolds without boundaries and the restrictions to them are immersions of codimension 1.

연구 동기 및 목표

• 특이값 집합이 제어 가능한 접선 맵을 구성하기 위해 다양한 미분다양체 위에 새로운 수술 연산을 개발하는 것.
• 접선 맵과 관련된 리브 공간의 위상적 불변량, 특히 그 코homology 링을 분석하는 것.
• 이전의 접선 맵 구성 방법을 확장하여, 특이값 집합이 교차할 수 있도록 수술을 통합하는 것.
• 수술 연산이 접선 맵의 전반적 구조와 그 특이집합에 어떤 영향을 미치는지 조사하는 것.
• 일반적인 사상과 특이점 이론을 통한 다양한 미분다양체와 그 구조를 이해하는 데 기여하는 것.

제안 방법

• 다양체와 그 사상에 수술 연산을 적용하여 특이집합의 구조를 수정하고, 결과로 생기는 접선 맵의 위상을 제어하는 것.
• 특이점 집합이 코디멘션 1의 닫힌 부분다양체이고, 이 집합에 제한된 사상이 임bedding임을 가정하는 것.
• 연결된 전이의 구성요소들로 이루어진 몫공간으로 정의되는 리브 공간(Reeb spaces)을 활용하여 코homology 링과 같은 위상적 불변량을 추출하는 것.
• 구조가 잘 정의되고 일반적인 사상이 되도록 하기 위해, 미분사상의 특이점 이론 기법을 활용하는 것.
• 특이점 집합의 상(즉, 특이값 집합)을 분석하여 교차를 허용함으로써 새로운 위상적 복잡성을 도입하는 것.
• 미분위상론과代수위상론을 융합하여 리브 공간의 코homology가 기저 다양체의 구조와 어떻게 관련되는지 분석하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 수술 연산을系통적으로 설계하여 특이값 집합이 교차를 포함하는 접선 맵을 구성할 수 있는가?
• RQ2 접선 맵의 리브 공간의 코homology 링에는 원래 다양체에 대한 어떤 위상적 정보가 암묵되어 있는가?
• RQ3 수술 연산은 특이집합의 구조와 접선 맵에 의한 그 상에 어떤 방식으로 영향을 미치는가?
• RQ4 리브 공간의 성질, 예를 들어 코homology는 원래 다양체의 미분구조를 어떻게 반영하는가?
• RQ5 접선 맵의 특이값 집합이 교차하는 경우, 어떤 조건이 성립해야 하는가?

주요 결과

• 특이값 집합에 교차를 포함하는 접선 맵을 구성할 수 있도록 하는 새로운 수술 연산이 개발되었으며, 이는 이전 방법을 확장한다.
• 구성된 접선 맵의 리브 공간은 원래 다양체의 위상적 특징을 반영하는 코homology 링 구조를 물려받는다.
• 접선 맵의 특이값 집합은 경계가 없는 닫힌 부분다양체의 상임이 증명되었으며, 이 집합에 제한된 사상은 코디멘션 1의 임베딩임을 보였다.
• 이 구성 방법을 통해 다양한 경우의 접선 맵에 대응하는 리브 공간의 코homology 링을 명시적으로 계산할 수 있다.
• 이 접근법은 이전의 구성 방법을 일반화하며, 비자명한 특이집합 구성이 있는 접선 맵을 연구하기 위한 프레임워크를 제공한다.
• 결과적으로, 일반적인 사상과 그 불변량이 다양한 다양체의 미분적·위상적 구조를 어떻게 탐색할 수 있는지에 대한 이해가 심화되었다.