[논문 리뷰] Surjectivity of certain word maps on PSL(2,C) and SL(2,C)

Tatiana Bandman, Yuri G. Zarhin|arXiv (Cornell University)|2014. 07. 13.

Finite Group Theory Research참고 문헌 11인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 자유군의 1차 도수군 $F^{(1)} \setminus F^{(2)}$ 에 속하는 비자명한 교환자에 의해 정의된 단어 사상이 대수적으로 닫힌 특성 0의 체를 가진 $
\mathrm{PSL}(2,\mathbb{C})$ 와 $
\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ 에서 전사임을 증명한다. 마그누스 임bedding 정리의 변종과 상삼각행렬 위에서의 추적 기반 분석을 통해, 특히 $F^{(2)}$ 에 속하지만 $
\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ 에서도 여전히 전사인 특정 예시 $[[x,[x,y]],[y,[x,y]]]$ 를 포함한 일부 단어에 대해 전사성을 증명하며, 단순 대수적 군에 대한 단어 사상의 열린 전사 문제의 한 케이스를 해결한다.

ABSTRACT

We show that an element w of a free group F on n generators defines a surjective word map of PSL(2,C)^n onto PSL(2,C) unless w belongs to the second derived subgroup of F. We also describe certain words maps that are surjective on SL(2,C) x SL(2,C). Here C is the field of complex numbers.

연구 동기 및 목표

• 비거듭제곱 단어에 대해 $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{C})$ 와 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ 에서의 단어 사상의 전사성에 관한 열린 문제를 해결하기 위해.
• 단어 사상이 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ 와 $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{C})$ 에서 전사 또는 거의 전사가 되는 조건을 규명하기 위해.
• 기존의 고전적 결과로는 다루지 못하는, 제2도수군 $F^{(2)}$ 에 속하는 단어 사상의 명시적 기준과 예시를 제공하기 위해.
• 마그누스 임베딩 정리와 추적 사상 분석을 적용하여 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ 에서의 단어 사상의 상을 특성화하기 위해.

제안 방법

• 특성 0의 대수적으로 닫힌 체 $K$ 에 대해 $\mathrm{SL}(2,K)$ 에서의 단어 사상 상을 분석하기 위해 마그누스 임베딩 정리의 변종을 사용하기 위해.
• 상삼각행렬에서의 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ 에서의 단어 사상 $w(x,y) = \prod_{i=1}^k x^{a_i} y^{b_i}$ 를 명시적으로 계산하여 추적 기반 기준을 도출하기 위해.
• 단어 사상의 추적 $\mathrm{tr}(w(x,y))$ 를 분석하여 상이 모든 반단순, 유니포텐트, 마이너스 유니포텐트 원소를 포함하는지 판단하기 위해.
• 그로버 기저와 다항식 아이디얼 계산(Magma를 통해 수행)을 사용하여 특정 아핀 부분집합에서 행렬 원소가 항등로 0이 아니라는 것을 확인함으로써, 유니포텐트 및 마이너스 유니포텐트 원소에 대한 전사성을 보장하기 위해.
• 매개변수화된 가중치를 사용하여 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ 에서의 명시적 행렬 $x,y$ 를 구성하여 $w(x,y) = -id$ 또는 $w(x,y)$ 가 마이너스 유니포텐트 행렬이 되도록 하기 위해.
• 단어 $v(x,y) = [[x,[x,y]],[y,[x,y]]]$ 가 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ 에서 전사임을 증명하기 위해, 그 상이 $-id$ 와 모든 마이너스 유니포텐트 행렬을 포함하는 것으로 보여주기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 $w \in F^{(1)} \setminus F^{(2)}$ 는 $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{C})$ 에서 단어 사상으로서 전사인가?
• RQ2 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ 에서의 단어 사상의 전사성은 추적 조건과 지수의 기수성에 의해 특성화될 수 있는가?
• RQ3 $F^{(2)}$ 에 속하는 단어 중에서도 여전히 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ 에서 전사인 단어가 존재하는가? 이는 도수군의 교환자 부분군에서의 위치가 전사성을 막는 방식으로는 나타나지 않는다.
• RQ4 $w(x,y) = \prod_{i=1}^k x^{a_i} y^{b_i}$ 의 지수 $a_i, b_i$ 에 어떤 조건이 성립하면 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ 에서 전사 또는 거의 전사가 되는가?
• RQ5 $w \in F^{(2)}$ 인 경우에도 $w(x,y) = -id$ 또는 마이너스 유니포텐트 행렬이 되는 명시적 행렬을 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $w \in F^{(1)} \setminus F^{(2)}$ 에 대해 정의된 단어 사상은 대수적으로 닫힌 특성 0의 체 $K$ 에서 $\mathrm{PSL}(2,K)$ 에서 전사이다.
• 모든 $b_i > 0$ 인 $w(x,y) = \prod_{i=1}^k x^{a_i} y^{b_i}$ 에 대해 단어 사상은 전사이거나 다른 단어의 적절한 거듭제곱이다.
• $v(x,y) = [[x,[x,y]],[y,[x,y]]]$ 는 $F^{(2)}$ 에 속하지만 $
  \mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ 에서도 여전히 전사이며, 그 상은 $-id$ 와 모든 마이너스 유니포텐트 행렬을 포함한다.
• 행렬 $x = \begin{pmatrix}1-d&1\\ -2/3&d\end{pmatrix}, y = \begin{pmatrix}2-3d&0\\ 0&3d-1\end{pmatrix}$ 는 $d^2 - d + 1/3 = 0$ 일 때 $v(x,y) = -id$ 를 만족하며, $d$ 가 38차 기약다항식의 근일 때 마이너스 유니포텐트 행렬을 만든다.
• 추적 사상 $\mathrm{tr}(w(x,y))$ 는 상이 추적값 $\neq \pm 2$ 인 모든 반단순 원소, 추적값 2인 모든 유니포텐트 원소, 추적값 $-2$ 이며 $-id$ 가 아닌 모든 마이너스 유니포텐트 원소를 포함함을 보여주며, 이는 완전한 전사성을 보장한다.
• Magma를 사용한 계산은 $\mathrm{tr}(v(x,y)) = \pm 2$ 인 집합에서 $q_{12}$-항목이 항등로 0이 아니라는 것을 확인하여, 이 쌍의 공역에 속하는 비자기원소들이 상에 포함되어 있음을 증명한다.