[논문 리뷰] Survey of Dirichlet Series of Multiplicative Arithmetic Functions

Richard J. Mathar|arXiv (Cornell University)|2011. 06. 20.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 24인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 곱셈적 산술 함수의 디리클레 급수를 리만 제타 함수 또는 무한 오일러乘법의 곱과 비율로 표현함으로써 체계적으로 유도한다. 디리클레 콘볼루션, 곱셈적 성질, 벨 급수를 활용하여 오일러의 토이언트, 약수 함수, 고차 모비우스 및 조르단 함수와 같은 핵심 함수의 생성함수를 분류하고 계산하며, 참조를 위한 닫힌 형식 표현과 OEIS A번호를 제공한다.

ABSTRACT

The manuscript reviews Dirichlet Series of important multiplicative arithmetic functions. The aim is to represent these as products and ratios of Riemann zeta-functions, or, if that concise format is not found, to provide the leading factors of the infinite product over zeta-functions. If rooted at the Dirichlet series for powers, for sums-of-divisors and for Euler's totient, the inheritance of multiplicativity through Dirichlet convolution or ordinary multiplication of pairs of arithmetic functions generates most of the results.

연구 동기 및 목표

• 중요한 곱셈적 산술 함수에 대한 디리클레 생성함수를 체계적으로 도출하는 것.
• 이러한 생성함수를 리만 제타 함수의 유한 또는 무한 곱/비율로 표현하는 것.
• 벨 급수와 디리클레 콘볼루션을 사용한 통합 프레임워크를 통해 생성함수를 유도하는 것.
• OEIS 시퀀스의 A번호를 통한 참조 및 검증을 위해 결과를 연결하는 것.
• 유니터리 조르단 함수 및 고차 모비우스 함수와 같은 고차 곱셈적 함수로 기존 결과를 확장하는 것.

제안 방법

• 벨 급수 표현의 사용: ∏ₚ ∑ₑ≥₀ a(pᵉ)/pᵉˢ 를 통해 디리클레 급수를 오일러 곱으로 표현.
• 디리클레 콘볼루션의 적용을 통해 곱셈성을 유지하고 복합 함수의 생성함수를 도출.
• 항등식 (1±pˡ⁻ᵘˢ)⁻¹ 을 이용해 무한 오일러 곱을 리만 제타 함수의 비율로 변환.
• 주어진 소수 거듭제곱에서의 함수 정의를 위한 마스터 방정식 a(pᵉ) 를 사용하고, 곱셈성을 통해 모든 정수로 확장.
• 거듭제곱, 약수 함수, 토이언트, 모비우스 유형 함수, 그리고 xᵗ≡0 mod n 의 해의 수에 대한 생성함수 유도.
• 복소 평면에서 ζ_D(s) 를 근사하기 위해 오일러 곱 전개의 절단을 통한 수치적 평가.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 곱셈적 산술 함수의 디리클레 급수는 어떻게 리만 제타 함수로 표현할 수 있는가?
• RQ2 디리클레 콘볼루션은 새로운 곱셈적 함수와 그에 따른 디리클레 급수를 생성하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 벨 급수 표현은 디리클레 생성함수의 무한 곱 형태 유도를 어떻게 촉진하는가?
• RQ4 고차 모비우스 및 조르단 함수의 디리클레 급수에 대한 닫힌 형식 표현은 무엇인가?
• RQ5 이러한 디리클레 급수의 수렴 영역은 오일러 곱 성분의 지수와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• nᵏ 의 디리클레 급수는 ζ(s−k), 상수 함수 1의 경우 ζ(s)이며, 모비우스 함수 μ(n) 는 1/ζ(s) 를 생성한다.
• 오일러의 토이언트 함수 φ(n) 는 디리클레 콘볼루션 φ = μ⋆id 에 의해 ζ(s−1)/ζ(s) 라는 급수로 유도된다.
• 유니터리 조르단 함수 Jₖ⋆(n) 는 s>1+k 에 대해 ζ(s−k) × ∏ₚ (1−p⁻ˢ)(1+pᵏ⁻²ˢ)(1−p⁻²ˢ)(1+pᵏ⁻³ˢ)²⋯ 의 생성함수를 가진다.
• xᵗ≡0 mod n 의 해의 수는 곱셈적이며, a(pᵉ)=p^{⌊(t−1)e/t⌋} 이고, 그 디리클레 급수는 t≥2 에 대해 ∏ₚ (1 + ∑_{r=1}^{t−1} p^{r−1−rs}) / (1−p^{t−1−st}) 이다.
• xᵗ≡0 mod n 를 만족하는 최소의 x>0 는 t=2 에 대해 ∏ₚ (1+p^{1−s})/(1−p^{1−2s}) = ζ(2s−1)ζ(s−1)/ζ(2s−2) 의 디리클레 급수를 가진다.
• 고차 모비우스 함수 μₖ(n) 는 벨 급수 (1−2p⁻ᵏˢ+p⁻⁽ᵏ⁺¹⁾ˢ)/(1−p⁻ˢ) 를 가지며, 특정 지수 패턴을 가진 제타 함수의 무한 곱으로 표현된 디리클레 급수를 가진다.