[논문 리뷰] Survey of Quasirandomness in Number Theory

Joshua Cooper|arXiv (Cornell University)|2003. 10. 24.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 20인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 이산 푸리에 분석과 에르되시-투란 부등식을 사용하여 수론적 순열, 특히 소스 순열에서의 준무작위성(quasirandomness)을 조사한다. 이를 통해 낮은 이질성(discrepancy)을 입증한다. 수론에서 유래한 여러 자연스러운 순열이 준무작위성을 띠며, 강력한 준무작위성 성질을 지닌다는 것이 입증되었고, 이는 무리수의 배수의 분수부분에 대한 이해를 심화시킨다.

ABSTRACT

In [9], the author introduced quasirandom permutations, permutations of Zn which map intervals to sets with low discrepancy. Here we show that several natural number-theoretic permutations are quasirandom, some very strongly so. Quasirandomness is established via discrete Fourier analysis and the Erdős-Turán inequality, as well as by other means. We apply our results on Sós permutations to make progress on a number of questions relating to the sequence of fractional parts of multiples of an irrational. Several intriguing new open problems are presented throughout the discussion. 1

연구 동기 및 목표

• 수론적 순열, 특히 소스 순열이 준무작위 행동을 보이는지 조사하는 것.
• 이 순열들에 대한 준무작위성을 이산 푸리에 분석과 에르되시-투란 부등식을 사용하여 입증하는 것.
• 소스 순열에 대한 결과를 적용하여 무리수의 배수의 분수부분의 분포에 대한 이해를 심화하는 것.
• 이질성과 균일 분포와 관련된 수론적 수열에 대한 새로운 열린 문제들을 식별하고 제시하는 것.

제안 방법

• 순열의 스펙트럼 성질을 분석하기 위해 이산 푸리에 분석을 적용하는 것.
• 이질성을 제한하고 준무작위성을 정량화하기 위해 에르되시-투란 부등식을 사용하는 것.
• 특히 소스 순열을 포함한 수론적 구성에서 유래한 순열을 분석하는 것.
• 이 순열에 의해 어떤 간격이 어떻게 매핑되는지 분석함으로써 이질성이 낮음을 입증하는 것.
• 해석적 수론 기법과 조합적 이질성 이론을 융합하는 것.
• 기존의 무리수 배수의 분수부분에 대한 결과를 활용하여 준무작위성과 연결하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소스 순열과 기타 수론적 순열은 준무작위 행동을 보이는가?
• RQ2 에르되시-투란 부등식은 이러한 순열의 준무작위성을 얼마나 정량적으로 측정할 수 있는가?
• RQ3 이 순열에 의해 간격의 이질성이 어떻게 무리수의 배수의 분수부분의 분포와 관련되는가?
• RQ4 이러한 수열의 준무작위성 성질로부터 어떤 새로운 열린 문제가 도출되는가?

주요 결과

• 소스 순열을 포함한 여러 수론적 순열이 준무작위성을 띠며, 일부는 매우 강력한 준무작위성 성질을 보임이 입증되었다.
• 이 순열에 의한 간격의 이질성은 이산 푸리에 분석과 에르되시-투란 부등식을 사용하여 제한됨이 입증되었다.
• 이 결과들은 무리수의 배수의 분수부분의 분포에 대한 새로운 통찰을 제공한다.
• 논문은 이질성과 수론적 수열의 균일 분포와 관련된 몇 가지 새로운 열린 문제들을 식별하고 제시한다.