[논문 리뷰] Survival and Growth of a Branching Random Walk in Random Environment

Christian Bartsch, Nina Gantert외 1명|ArXiv.org|2009. 06. 22.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 7인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 비음수 정수 위에서의 랜덤 환경 속 분할 랜덤 워크를 연구한다. 입자는 위치에 따라 다른 배우자 분포에 따라 번식하고, 위치에 따라 다른 확률로 오른쪽으로 이동한다. 전역적 생존(global survival)은 인구 모멘트의 지수적 성장과 동치임을 입증하며, 생존 사건에서 입자의 수는 모멘트의 성장률과 동일한 속도로 거의 확실하게 지수적으로 증가함을 보인다.

ABSTRACT

We consider a particular Branching Random Walk in Random Environment (BRWRE) on $\sN_0$ started with one particle at the origin. Particles reproduce according to an offspring distribution (which depends on the location) and move either one step to the right (with a probability in $(0,1]$ which also depends on the location) or stay in the same place. We give criteria for local and global survival and show that global survival is equivalent to exponential growth of the moments. Further, on the event of survival the number of particles grows almost surely exponentially fast with the same growth rate as the moments.

연구 동기 및 목표

• 분할 랜덤 워크가 전역적으로 생존할 조건을 규명하는 것, 즉 인구가 거의 확실하게 멸종하지 않는 조건.
• 전역적 생존과 인구 모멘트의 지수적 성장률 사이의 정밀한 연결 고리를 확립하는 것.
• 생존 조건 하에서 실제 입자 수가 모멘트의 성장률과 동일한 지수적 속도로 거의 확실하게 증가함을 보이는 것.
• 하나의 함수 β를 통해 하향적 에르고딕 정리(subadditive ergodic theorem)를 이용해 기대 인구 수의 공간적 프로파일을 분석하는 것.
• 기존의 랜덤 환경 속 분할 확률 과정 결과를 이동과 위치에 따라 다른 번식 및 이동을 고려한 공간적 설정으로 확장하는 것.

제안 방법

• ℕ₀ 위에서 i.i.d. 랜덤 환경 속 분할 랜덤 워크로 시스템을 모델링하며, 위치에 따라 다른 배우자 분포와 오른쪽 이동 확률을 가진다.
• 환경 ω를 i.i.d. 쌍 (μₓ, hₓ)의 시퀀스로 정의하며, μₓ는 위치 x에서의 배우자 분포이고 hₓ는 위치 x에서 오른쪽으로 이동할 확률이다.
• 전역 생존을 분석하기 위해 임베디드 랜덤 환경 속 분할 과정을 사용하며, 모멘트 생성 함수와 리아푸노프 함수 기법을 활용한다.
• 하향적 에르고딕 정리를 적용하여, 위치 x에서 기대 인구 수의 점근적 지수적 성장률을 묘사하는 한계 성장 프로파일 함수 β(x)의 존재를 입증한다.
• 생존 임계값 h_LS와 전역 생존 영역을 기술하기 위해 함수 φ(h) = ℰ[log(m₀h / (1 - m₀(1 - h)))]을 도입한다.
• 생존 조건 하에서의 조건부 기대와 대규모 변동 이론을 활용하여, 입자 수의 거의 확실한 지수적 성장이 모멘트의 성장률과 동일한 속도로 일어남을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분할 랜덤 워크가 전역적으로 생존하는 조건은 무엇인가? 즉, 인구가 거의 확실하게 멸종하지 않는 조건는 무엇인가?
• RQ2 전역적 생존은 인구 모멘트의 지수적 성장률과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ3 생존 조건 하에서 실제 입자 수의 거의 확실한 성장률은 무엇인가?
• RQ4 기대 인구 수의 공간 분포는 어떻게 변화하며, 어떤 함수가 그 프로파일을 묘사하는가?
• RQ5 전역 생존과 멸종을 나누는 오른쪽 이동 확률 hₓ의 임계값 h_LS는 무엇인가?

주요 결과

• 분할 랜덤 워크의 전역 생존은 인구 모멘트의 지수적 성장과 동치이다.
• 생존 사건에서 입자의 수는 모멘트의 성장률과 동일한 속도로 거의 확실하게 지수적으로 증가한다.
• 위치 x에서 기대 입자 수의 지수적 성장률을 묘사하는 함수 β(x)는 존재하며, 하향적 에르고딕 정리를 통해 기술된다.
• 생존을 위한 임계값 h_LS ∈ (0,1]은 방정식 φ(h_LS) = 0을 통해 결정되며, 여기서 φ(h) = ℰ[log(m₀h / (1 - m₀(1 - h)))].
• M > 1이면(여기서 M은 평균 배우자 수 m₀의 본질적 상한), h ∈ (h_LS, 1] 범위에서 비자명한 생존 영역이 존재하며, 전역 생존은 오직 h > h_LS일 때 발생한다.
• m₀가 랜덤이고 φ(h)가 엄격히 감소하면, 생존 영역은 엄격히 (h_LS, 1] 내부에 있으며, h_LS < 1일 수 있어 비자명한 계면 전이(phase transition)가 존재함을 시사한다.