[논문 리뷰] Survival probabilities of some iterated processes

Christoph Baumgarten|arXiv (Cornell University)|2011. 06. 15.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 20인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 반복적인 확률적 과정의 생존 확률을 조사한다. 여기서 과정 $ X $ 는 다른 과정 $ Y $ 의 절댓값 또는 부호와 복합된다. 연속적이고 자기유사적인 $ Y $ 에 대해, $ X  \big( |Y_t|  \big) $ 의 생존 지수는 $ \theta H $ 로 나타나며, 여기서 $ \theta $ 는 $ X $ 의 생존 지수이고 $ H $ 는 $ Y $ 의 자기유사성 지수이다. 주요 결과 중 하나는 반복 브라운 운동의 생존 확률이 $ T^{-1/2} $ 로 감소함을 보여주며, 이는 표준 브라운 운동 $ X $ 와 $ H = 1/2 $ 인 경우에 대해 $ \theta H = 1/4 $ 를 확인한다.

ABSTRACT

We study the asymptotic behaviour of the probability that a stochastic process $(Z_t)_{t \geq 0}$ does not exceed a constant barrier up to time $T$ (the so called survival probability) when Z is the composition of two independent processes $(X_t)_{t \in I}$ and $(Y_t)_{t \geq 0}$. To be precise, we consider $(Z_t)_{t \geq 0}$ defined by $Z_t = X \circ \abs{Y_t}$ when $I = [0,\infty)$ and $Z_t = X \circ Y_t$ when $I = \mathbb{R}$. For continuous self-similar processes $(Y_t)_{t \geq 0}$, the rate of decay of survival probability for $Z$ can be inferred directly from the survival probability of $X$ and the index of self-similarity of $Y$. As a corollary, we obtain that the survival probability for iterated Brownian motion decays asymptotically like $T^{-1/2}$. If $Y$ is discontinuous, the range of $Y$ possibly contains gaps which complicates the estimation of the survival probability. We determine the polynomial rate of decay for $X$ being a Lévy process (possibly two-sided if $I = \mathbb{R}$) and $Y$ being a Lévy process or random walk under suitable moments conditions.

연구 동기 및 목표

• 반복 과정 $ Z_t = X(|Y_t|) $ 또는 $ Z_t = X(Y_t) $ 에 대해 생존 확률 $ P(\sup_{t \in [0,T]} Z_t \leq 1) $ 의 渐近 감쇠율을 결정하는 것.
• 외부 과정 $ X $ 의 생존 지수와 내부 과정 $ Y $ 의 자기유사성 또는 경로 성질이 함께 전체 생존 지수를 어떻게 결정하는지 규명하는 것.
• 일측 탈출 문제에 대한 기존 결과를 레비 및 자기유사 과정의 범주로 확장하는 것.
• 불연속적인 $ Y $ 를 다루는 과제, 즉 $ Y $ 의 범위에 빈틈이 생기면서 생존 확률 추정이 복잡해지는 문제를 해결하는 것.
• 모멘트 조건이 만족될 경우, 특히 드리프트 또는 영 평균을 가진 경우에 대해 다항 감쇠율을 정확히 제공하는 것.

제안 방법

• $ Y $ 의 자기유사성과 경로 연속성을 이용하여 $ X(|Y_t|) $ 의 생존 확률을 시간 $ T $ 에서의 $ Y $ 의 일반적인 범위와 연결하며, 이는 $ T^H $ 의 척도로 나타난다.
• $ P(\sup_{t \in [0,1]} |Y_t| \leq \epsilon) \precsim \epsilon^\rho $ 의 소수편이 확률 조건을 적용하여 $ Y $ 가 영에 가까이 머무르는 기여를 배제한다.
• $ Y $ 의 최대값 $ M_T $ 과 최소값 $ I_T $ 에 기반한 분해을 사용하여 생존 확률을 $ E[ P(\sup_{t \in I_T, M_T]} X_t \leq 1 \mid \mathcal{F}_T^Y) ] $ 로 표현한다.
• 레비 과정의 경우, $ X $ 와 $ Y $ 에 대한 모멘트 조건, 특히 $ X_1^+, X_1^- \in \mathcal{X}(\alpha) $ 를 사용하여 꼬리 확률과 생존 확률을 유계화한다.
• 몰찬 (1999) 의 분수 차수 브라운 운동에 대한 결과를 적용하여, 역 국소 시간의 적분 가능성 조건 하에 히어스트 매개수 $ H $ 와 무관하게 생존 지수를 유도한다.
• 커플링과 모멘트 추정을 사용하여 $ Y $ 의 범위에 의해 결정되는 간격에서 $ X $ 가 1 이하로 머무르는 확률을 유계화하며, 특히 랜덤 워크의 경우를 다룬다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연속적이고 자기유사적인 $ Y $ 에 대해, $ Y $ 의 자기유사성 지수 $ H $ 와 $ X $ 의 생존 지수 $ \theta $ 가 $ X(|Y_t|) $ 의 생존 지수에 어떻게 영향을 주는가?
• RQ2 반복 브라운 운동의 생존 확률 감쇠율은 무엇이며, 개별 지수의 곱과 비교해보면 어떻게 되는가?
• RQ3 $ Y $ 가 드리프트 또는 영 평균을 가진 레비 과정이고 $ X $ 가 레비 또는 레비 유형 과정일 경우, $ X(Y_t) $ 의 생존 확률은 어떻게 행동하는가?
• RQ4 $ Y $ 의 소수편이 생존 지수에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ5 자기유사 과정에 의해 서브오르디네이트된 양방향 분수 차수 브라운 운동의 생존 지수는 히어스트 매개수 $ H $ 에 따라 달라지는가?

주요 결과

• 연속적이고 자기유사적인 $ Y $ (지수 $ H $) 에 대해, $ X(|Y_t|) $ 의 생존 확률은 $ T^{-\theta H} $ 로 감쇠하며, 여기서 $ \theta $ 는 $ X $ 의 생존 지수이고 $ Y $ 는 약간의 소수편 조건을 만족해야 한다.
• 반복 브라운 운동의 생존 지수는 $ 1/4 $ 이며, 이는 표준 브라운 운동 $ X $ 에 대해 $ \theta = 1/2 $ 이고 시간 과정에 대해 $ H = 1/2 $ 이기 때문이다.
• $ Y $ 가 영 평균 레비 과정이고 $ X $ 가 $ X_1^+, X_1^- \in \mathcal{X}(\alpha) $ 를 만족하는 이중 방향 레비 과정일 경우, $ X(Y_t) $ 의 생존 확률은 로그 보정을 제외하고 $ T^{-1/2} $ 로 감쇠한다.
• $ Y $ 가 양의 드리프트를 가질 경우, $ X(Y_t) $ 의 생존 확률 역시 $ T^{-1/2} $ 로 감쇠하지만, 로그 보정 인자 $ (\log T)^{1/\alpha} $ 가 포함되며, 이는 $ X $ 의 한 분지가 지배하는 것을 반영한다.
• 히어스트 매개수 $ H \in (0,1) $ 인 분수 차수 브라운 운동 $ X $ 가 연속적이고 자기유사적인 과정 $ Y $ (지수 $ \lambda $) 에 의해 서브오르디네이트될 경우, 생존 지수는 $ \lambda $ 로 나타나며, 이는 $ H $ 와 무관하다. 이는 역 국소 시간의 적분 가능성 조건 하에서 성립한다.
• $ Y $ 가 랜덤 워크이고 $ X $ 가 레비 과정일 경우, $ X(Y_t) $ 의 생존 지수는 드리프트에 관계없이 항상 $ 1/2 $ 이다. 이는 $ Y $ 의 일반적인 변동성과 $ X $ 의 생존 지수 간의 상호작용 때문이다.