[논문 리뷰] Survival probability of random walks and L\'evy flights with stochastic resetting

Claude Godrèche, J. M. Luck|arXiv (Cornell University)|2022. 04. 15.

Diffusion and Search Dynamics참고 문헌 16인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 확률적 리셋이 있는 대칭 랜덤 워크와 레비 플라이트의 생존 확률을 조사하며, 시간 n까지 원점의 한쪽에 머무르는 확률에 대한 정확한 및 渐近적 표현을 유도한다. 생성함수와 스파레 앤더슨 보편성 이론을 사용하여 연속적인 스텝 길이 분포의 경우, 생존 확률 Qn은 보편적이며 리셋률에 따라 결정되는 감쇠률 K를 가진 지수 감쇠 형태를 띤다. 이 감쇠률 K는 r = 2/5에서 최대가 된다. 격자 워크의 경우, 대수적 접근법을 통해 Qn과 향상 인자 E가 모델 매개수의 대수적 함수임을 밝혀낸다.

ABSTRACT

We perform a thorough analysis of the survival probability of symmetric random walks with stochastic resetting, defined as the probability for the walker not to cross the origin up to time $n$. For continuous symmetric distributions of step lengths with either finite (random walks) or infinite variance (L\'evy flights), this probability can be expressed in terms of the survival probability of the walk without resetting, given by Sparre Andersen theory. It is therefore universal, i.e., independent of the step length distribution. We analyze this survival probability at depth, deriving both exact results at finite times and asymptotic late-time results. We also investigate the case where the step length distribution is symmetric but not continuous, focussing our attention onto arithmetic distributions generating random walks on the lattice of integers. We investigate in detail the example of the simple Polya walk and propose an algebraic approach for lattice walks with a larger range.

연구 동기 및 목표

• 대칭 랜덤 워커가 시간 n까지 원점을 횡단하지 않을 확률인 생존 확률 Qn이 확률적 리셋 하에서 어떻게 변화하는지 분석한다.
• 연속적인 대칭 스텝 길이 분포(레비 플라이트 포함)에 대해 Qn의 보편성을 확립하고, 그 정확한 및 渐近적 행동을 유도한다.
• 특히 단순 폴리아 워크와 더 큰 스텝 범위를 가진 일반 격자 워크에 대해, 산술(격자) 분포에서의 비보편적 행동을 조사한다.
• 격자 워크에 대해 생존 확률과 향상 인자 E를 계산하는 대수적 프레임워크를 개발하며, 생성함수와 E가 모델 매개수의 대수적 함수임을 보여준다.

제안 방법

• 재생 과정 접근법을 사용하여, 리셋이 있는 경우와 없는 경우의 생존 확률 사이의 생성함수 관계 ˜Q(z) = ˜q((1−r)z)/(1 − rz ˜q((1−r)z))를 유도한다.
• 스파레 앤더슨 이론을 적용하여, 리셋이 없는 생존 확률 qn을 ˜q(z) = exp(∑n≥1 πn/n zn)로 표현하며, 연속적인 대칭 분포의 경우 πn = 1/2이다.
• 연속적인 분포의 경우, 보편적 형태 ˜q(z) = 1/√(1−z)를 사용하여 qn = (2n choose n)/4^n 와 渐近 전개 qn ∼ 1/√(πn) (1 − 1/(8n) + ...)를 도출한다.
• 격자 워크(예: 폴리아 워크)의 경우, 특성 함수와 이차방정식의 근을 찾는 기법을 기반으로 한 새로운 대수적 방법을 사용하여 생성함수 ˜Q(z)와 향상 인자 E를 유도한다.
• 일반적인 산술 분포의 경우, ˜q(z)에 대한 사차방정식을 유도하여 qn과 Qn의 정확한 계산을 가능하게 한다.
• Qn ∼ e^−Kn 의 지수 감쇠율 K를 분석하며, r→0 및 r→1 일 때 K가 0이 되며, 연속적인 경우 r=2/5, 폴리아 워크의 경우 r=√2−1 에서 최대가 됨을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 확률적 리셋은 대칭 랜덤 워크와 레비 플라이트의 생존 확률 Qn에 어떤 영향을 미치며, 이 효과는 다양한 스텝 길이 분포에 대해 보편적인가?
• RQ2 연속적인 대칭 스텝 길이 분포에 대해 유한 시간 및 만기 근처에서 Qn의 정확한 및 渐近적 형태는 무엇인가?
• RQ3 이산적이고 산술적인 스텝 길이 분포를 가진 격자 워크의 경우 생존 확률 Qn은 어떻게 행동하며, 그 비보편적 행동은 무엇에 의해 결정되는가?
• RQ4 일반적인 격자 워크에 대해 생존 확률과 향상 인자 E를 대수적으로 계산할 수 있는가? 이 과정에 관여하는 대수적 함수의 차수는 무엇인가?

주요 결과

• 연속적인 대칭 스텝 길이 분포(레비 플라이트 포함)의 경우 생존 확률 qn은 보편적이며 qn = (2n choose n)/4^n 로 주어지며, 渐近적 감쇠는 qn ∼ 1/√(πn) (1 − 1/(8n) + ...) 로 표현된다.
• 확률적 리셋 하에서의 생존 확률 Qn은 보편적이며 n과 리셋률 r에만 의존하며, Qn ∼ e^−Kn 과 같이 지수 감쇠 형태로 감소한다. 여기서 K는 r = 2/5 에서 최대가 된다.
• 지수 감쇠율 K는 r → 0 및 r → 1 일 때 0이 되며, r→0 에서는 K = r + (1/2 − E²)r² + ... 와, r→1 에서는 K = (1−r)/2 − (1−2a(1−a))/8 (1−r)² + ... 와 같은 전개를 가진다. 여기서 E는 향상 인자이다.
• 단순 폴리아 워크(a=0)의 경우 향상 인자는 E = √2 이며, 감쇠율 K는 r = √2 − 1 에서 최대가 된다.
• 스텝 크기가 a인 일반적인 산술 분포의 경우 향상 인자는 E = (√(1+3a) − √(1−a))/(a√2) 로 주어지며, a=2/3 에서 √(3/2) 에 도달하고, a=0 및 a=1 에서는 √2 가 된다.
• 격자 워크의 생성함수 ˜Q(z)는 사차방정식을 만족하며, ˜Q(z)와 향상 인자 E는 모두 모델 매개수의 대수적 함수이다. 폴리아 워크 및 일반 범위 워크에 대해 명시적인 표현이 유도되었다.