[논문 리뷰] SUSY Lattice Vertex Algebras

Reimundo Heluani, Victor G. Kač|ArXiv.org|2007. 10. 08.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 4인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 정수 격자 $Q$ 와 관련된 $N=1$ 초대칭 격자 버텍스 대수학 ($\mathrm{V}_Q^{̄{super}}$) 을 구성하고 분류하며, 이들이 일반적인 격자 버텍스 대수학 $V_Q$ 와 자유 페르미온 대수학 $F(\Pi\mathfrak{h})$ 의 텐서곱과 동형임을 보여준다. 주요 결과는 이중형식 $(a,b)=2ab$ 를 가진 $Q=\mathbb{Z}$ 에 대해 $\mathrm{V}_Q^{\mathrm{super}}$ 가 중심 전하 $c=3/2$ 에서 단순한 $N=3$ 초등방정식 대수학 $V_{3/2}(N3)$ 와 동형임을 보이며, 이는 그의 유리성과 함께 $V_c(N3)$ 가 유리인 유일하게 알려진 비영인 $c$ 를 제공한다.

ABSTRACT

We construct and study SUSY lattice vertex algebras. As a simple example, we obtain the simple vertex algebra associated to the vertex algebra $V_c(N3)$ of central charge $c=3/2$, as the SUSY lattice vertex algebra associated to $\mathbb{Z}$ with bilinear form $(a,b) = 2ab$.

연구 동기 및 목표

• 정수 격자 $Q$ 와 관련된 $N=1$ 초대칭 격자 버텍스 대수학을 체계적으로 구성하고 특성화한다.
• $\mathrm{V}_Q^{\mathrm{super}}$ 와 $V_Q \otimes F(\Pi\mathfrak{h})$ 사이의 동형관계를 확립한다. 여기서 $V_Q$ 는 일반적인 격자 버텍스 대수학이고, $F(\Pi\mathfrak{h})$ 는 $\mathfrak{h}=\mathbb{C}\otimes_{\mathbb{Z}} Q$ 에서의 자유 페르미온 대수학이며, 그 위상은 반전된다.
• $\mathrm{V}_Q^{\mathrm{super}}$ 에서의 표준적인 $N=1$ 초등방정식 구조의 존재를 증명하며, 반대칭 연산자 $A$ 에 대한 추가 조건이 만족될 경우 $N=2$ 와 $N=4$ 초등방정식 구조의 존재를 보인다.
• 기약 $\mathrm{V}_Q^{\mathrm{super}}$-모듈의 특성치와 슈퍼특성치를 계산하고, 이들이 상반평면 위의 정칙 함수들의 $SL_2(\mathbb{Z})$-불변 공간을 생성함을 보인다.
• $Q=\mathbb{Z}$ 이고 $(a,b)=2ab$ 라면 $\mathrm{V}_Q^{\mathrm{super}}$ 가 단순한 $N=3$ 초등방정식 대수학 $V_{3/2}(N3)$ 와 동형임을 보이며, 이는 $V_c(N3)$ 가 $c=3/2$ 에서 유리임을 증명한다.

제안 방법

• [HK07] 에서 개발된 $N_K=1$ SUSY 버텍스 대수학을 위한 $\Lambda$-브라켓 형식을 사용하여 슈퍼장과 교환관계를 정의한다.
• $W=\Pi\mathbb{C}\otimes_{\mathbb{Z}} Q$ 와 $\mathbb{C}_\varepsilon[Q]$ 를 사용하여 $\mathrm{V}_Q^{\mathrm{super}}$ 를 $V^1(W) \otimes_{\mathbb{C}} \mathbb{C}_\varepsilon[Q]$ 로 구성한다. 여기서 $\mathbb{C}_\varepsilon[Q]$ 는 $Q$ 의 외부 군 대수이다.
• $\alpha,\beta \in W$ 에 대해 $[\alpha_\Lambda \beta] = (\alpha,\beta)\chi$ 와 $[h_\Lambda e^\alpha] = (h,\alpha)e^\alpha$ 를 정의하여 $W$ 가 군 대수에 작용하는 방식을 표현한다.
• $(j|J) \neq (0|0)$ 이면 $h_{(j|J)}$ 를 $V^1(W)$ 에서 $\mathrm{V}_Q^{\mathrm{super}}$ 로 확장하여 $h_{(j|J)}(s \otimes e^\alpha) = h_{(j|J)}(s) \otimes e^\alpha$ 를 만족시키고, $(j|J) = (0|0)$ 이면 $h_{(0|0)}(s \otimes e^\alpha) = (h,\alpha)s \otimes e^\alpha$ 를 만족시킨다.
• $\mathfrak{h}$ 에서의 반대칭 연산자 $A$ 를 사용하여 $N=2$ 초등방정식 구조를 구성하며, $A^2 = 1$ 이고, $N=4$ 초등방정식 구조를 구성하기 위해 삼중체 $A^i$ 를 사용하며, $i \neq j$ 에 대해 $A^i A^j = \sqrt{-1} \varepsilon_{ijk} A^k$ 를 만족시킨다.
• 기약 $\mathrm{V}_Q^{\mathrm{super}}$-모듈의 특성치와 슈퍼특성치를 계산하고, 테타 함수의 모듈러 성질과 $\Lambda$-브라켓 형식을 사용하여 그들의 $SL_2(\mathbb{Z})$-불변성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $N=1$ 초대칭 격자 버텍스 대수학을 정수 격자 $Q$ 에서 체계적으로 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 $\mathrm{V}_Q^{\mathrm{super}}$ 가 일반적인 버텍스 대수학으로서의 정확한 구조는 무엇이며, $V_Q$ 와 $F(\Pi\mathfrak{h})$ 와의 관계는 어떠한가?
• RQ3 $\mathrm{V}_Q^{\mathrm{super}}$ 가 $N=2$ 또는 $N=4$ 초등방정식 구조를 갖기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ4 기약 $\mathrm{V}_Q^{\mathrm{super}}$-모듈의 특성치와 슈퍼특성치는 무엇이며, 이들이 모듈러 불변 공간을 형성하는가?
• RQ5 $V_{3/2}(N3)$ 는 유리인가? 그리고 어떤 격자 $Q$ 에 대해 $\mathrm{V}_Q^{\mathrm{super}}$ 로 표현될 수 있는가?

주요 결과

• $N=1$ SUSY 격자 버텍스 대수학 $\mathrm{V}_Q^{\mathrm{super}}$ 는 일반적인 버텍스 대수학으로서 $V_Q \otimes F(\Pi\mathfrak{h})$ 와 동형이며, 여기서 $V_Q$ 는 일반적인 격자 버텍스 대수학이고, $F(\Pi\mathfrak{h})$ 는 $\mathfrak{h}=\mathbb{C}\otimes_{\mathbb{Z}} Q$ 에서의 자유 페르미온 대수학이며, 그 위상은 반전된다.
• 모든 격자 $Q$ 에 대해 $\mathrm{V}_Q^{\mathrm{super}}$ 는 표준적인 $N=1$ 초등방정식 구조를 갖는다.
• $\mathfrak{h}$ 에서의 반대칭 연산자 $A$ 가 $A^2 = 1$ 을 만족하면, $\mathrm{V}_Q^{\mathrm{super}}$ 는 $N=2$ 초등방정식 구조를 갖는다.
• $\mathfrak{h}$ 에서의 반대칭 연산자 삼중체 $A^i$ 가 $i \neq j$ 에 대해 $A^i A^j = \sqrt{-1} \varepsilon_{ijk} A^k$ 를 만족하면, $\mathrm{V}_Q^{\mathrm{super}}$ 는 $N=4$ 초등방정식 구조를 갖는다.
• 기약 $\mathrm{V}_Q^{\mathrm{super}}$-모듈의 특성치와 슈퍼특성치는 상반평면 위의 정칙 함수들의 유한차원 $SL_2(\mathbb{Z})$-불변 공간을 생성한다.
• $Q = \mathbb{Z}$ 이고 이중형식 $(a,b) = 2ab$ 라면, $\mathrm{V}_Q^{\mathrm{super}}$ 는 단순한 버텍스 대수학 $V_{3/2}(N3)$ 와 동형이며, 이는 $V_c(N3)$ 가 $c = 3/2$ 에서 유리임을 증명한다. 이는 $V_c(N3)$ 가 유리인 유일하게 알려진 비영인 $c$ 이다.