[논문 리뷰] SUSY S-matrix Bootstrap and Friends

Carlos Bercini, Matheus Fabri외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 13.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 22인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $ν=1$ 초대칭성과 $Χ_2$/$Χ_4$ 대칭성을 가진 2차원 양자장이론에 S-행렬 부트스트랩을 적용하고, 준정방형 프로그래밍을 사용하여 허용 가능한 S-행렬의 공간을 탐색한다. 허용 영역의 경계는 알려진 적분 가능 모델—예를 들어 초대칭 및 제한된 사인-고든 이론—과 일치하며, 초대칭성과 단순성에 기반한 두 매개변수의 $Χ_4$-대칭 S-행렬 가닥을 유도하여 암묵적으로 도입하지 않은 채 깊이 있는 해석적 구조와 양-바크스 인수분해를 드러낸다.

ABSTRACT

We consider the 2D S-matrix bootstrap in the presence of supersymmetry, $\mathbb{Z}_2$ and $\mathbb{Z}_4$ symmetry. At the boundary of the allowed S-matrix space we encounter well known integrable models such as the supersymmetric sine-Gordon and restricted sine-Gordon models, novel elliptic deformations thereof, as well as a two parameter family of $\mathbb{Z}_4$ elliptic S-matrices previously proposed by Zamolodchikov. We highlight an intricate web of relations between these various S-matrices.

연구 동기 및 목표

• 2D 양자장이론에서 $ν=1$ 초대칭성과 $Χ_2$/$Χ_4$ 대칭성을 가진 단위성, 교차 대칭성 S-행렬의 공간을 탐색한다.
• 수치적 부트스트랩 기법을 사용하여 허용 가능한 S-행렬 공간의 경계를 식별하고, 이를 알려진 적분 가능 모델과 연관지킨다.
• 단위성과 교차 대칭성에 부합하는 두 매개변수의 $Χ_4$-대칭 S-행렬 가닥을 유도하며, 자모로드치코프의 구성으로 일반화한다.
• 암묵적으로 도입하지 않은 채, 경계 S-행렬에서 양-바크스 인수분해 및 다항식/영점 패턴과 같은 숨겨진 해석적 구조를 밝혀낸다.

제안 방법

• 교차 대칭점 $s_* = 2m^2$ 에서의 비선형 결합 $S_{\phi\phi}^{\phi\phi}(s_*)$ 와 $S_{\phi\psi}^{\phi\psi}(s_*)$ 를 사용하여 S-행렬 공간의 이차원 절단을 구성한다.
• S-행렬 요소에 대한 분산 관계 가설을 사용하여, 해석성과 단위성을 보장하는 기저 함수의 선형 조합으로 매개변수화한다.
• 계수에 대한 선형 제약 조건으로 교차 대칭성을 도입하여 독립 매개변수의 수를 줄인다.
• 준정방형 프로그래밍을 통해 $s$ 의 이산 점들에서 행렬 $\begin{pmatrix}1 & S_a(s) \\ S_a^*(s) & 1\end{pmatrix} \succeq 0$ 이 성립하도록 단위성을 확보한다.
• sdpb 소프트웨어를 사용하여 얻어진 볼록 최적화 문제에서 S-행렬 요소의 선형 함수를 최대화 또는 최소화한다.
• 단위성과 결합 상태 잔여량에 의해 제약을 받는 다항식, 영점, $2\pi i$-주기성을 가진 비율 함수 $r(\theta) = S_{\phi\phi}^{\phi\phi}/S_{\phi\psi}^{\phi\psi}$ 를 위한 해석적 가설을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2D $ν=1$ 초대칭 이론에서 결합 상태 유무에 따라 S-행렬 공간의 구조는 어떻게 되는가?
• RQ2 허용 가능한 S-행렬 영역의 경계는 초대칭 및 제한된 사인-고든 이론과 같은 알려진 적분 가능 모델과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 단지 부트스트랩 제약 조건만으로 두 매개변수의 $Χ_4$-대칭 S-행렬 가닥을 해석적으로 유도할 수 있는가?
• RQ4 경계 S-행렬에서 다항식, 영점 및 양-바크스 인수분해와 관련된 해석적 구조는 무엇이 드러나는가?
• RQ5 결합 상태 다항식에서 S-행렬 요소의 잔여량은 비율 함수 $r(\theta)$ 의 기능적 형태를 어떻게 제약하는가?

주요 결과

• 초대칭 S-행렬 공간의 경계는 CDD 다항식을 제거한 제한된 사인-고든 모델의 브리더 S-행렬과 일치하며, 카탈란 상수와 이중로그 함수를 포함하는 닫힌 형태의 표현을 가진다.
• 결합 상태 질량이 증가함에 따라 허용 영역이 단조롭게 감소하며, 보라색 영역(결합 상태 없음)은 RSG S-행렬에 의해 둘러싸여 있다.
• 경계에서의 비율 함수 $r(\theta)$ 는 $\theta = i\delta_1$ 에 다항식, $\theta = i\delta_2$ 에 영점, 추가로 $\theta = i\pi + \delta_3$ 에 영점이 있으며, $\delta_3$ 는 단위성에 의해 고정된다.
• 비율 함수 $r(\theta)$ 의 해석적 해는 두 매개변수 $t = \sin^2\delta_1$ 와 $\gamma$ 에 의존하며, $\gamma$ 는 $m_{\text{bs}} = 2m\cosh(\gamma/2)$ 를 통해 결합 상태 질량을 결정한다.
• 만약 $t = 0$ 이면 해는 초대칭 사인-고든 S-행렬로 감소하고, $t = \sin^2\gamma$ 일 때는 자유 이론 근처로 수렴한다.
• 양-바크스 인수분해 조건은 부트스트랩 절차에서 암묵적으로 도입되지 않았음에도 불구하고, 경계 영역 전역에서 만족된다.