[논문 리뷰] Sweeping processes with stochastic perturbations generated by a fractional Brownian motion

Adrian Falkowski, S Leszek|arXiv (Cornell University)|2015. 05. 06.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 41인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 허스트 지수 H > 1/2인 분수 Brown 운동(fBm)에 의해 구동되는 확률적 스위핑 프로세스의 잘 정의됨을 경로 기반 Riemann-Stieltjes 적분을 통해 확립한다. 결정론적 근사 기법을 이용해 해의 존재성, 유일성 및 p-변동 안정성을 증명하며, 반사 경계가 있는 비-세미마르팅게일 fBm 기반 역학으로 고전적 Skorokhod 문제 이론을 확장한다.

ABSTRACT

We study well-posedness of sweeping processes with stochastic perturbations generated by a fractional Brownian motion and convergence of associated numerical schemes. To this end, we first prove new existence, uniqueness and approximation results for deterministic sweeping processes with bounded $p$-variation and next we apply them to the stochastic case.

연구 동기 및 목표

• 분수 Brown 운동으로 흔들리는 확률적 스위핑 프로세스의 해의 존재성과 유일성을 확립하기 위해.
• 비-세미마르팅게일인 분수 Brown 운동의 경우로 고전적 Skorokhod 문제 이론과 확률적 미분 포함 이론을 확장하기 위해.
• fBm 기반 스위핑 프로세스의 해를 근사하는 수치적 방법의 수렴 이론을 개발하기 위해.
• 주어진 신호와 경계 역학과의 관계에서 조절자 프로세스의 p-변동을 분석하기 위해.
• 유계 p-변동을 갖는 결정론적 스위핑 프로세스 결과를 fBm 흔들림이 있는 확률적 설정으로 일반화하기 위해.

제안 방법

• 세미마르팅게일이 아닌 분수 Brown 운동에 대한 확률적 적분을 정의하기 위해 경로 기반 Riemann-Stieltjes 적분의 사용.
• 유계 p-변동 함수를 갖는 결정론적 스위핑 프로세스 이론을 적용하여 근사를 구성하기 위해.
• 조절자 프로세스의 비교를 통한 두 해의 차이에 대한 p-변동 노름에서의 사전 추정의 수립.
• Skorokhod 문제 공식화의 사용: X_t = X_0 + ∫f(s,X_s)ds + ∫g(s,X_s)dB^H_s + K_t, 여기서 X_t ∈ C_t 이고 dK_t ∈ N(C_t; X_t).
• càdlàg 함수 공간 D(R+; R^d)에서 이산화 및 극한 추론을 통한 p-변동 안정성 증명.
• fBm 경로의 Hölder 연속성(λ < H)을 활용하여 Riemann-Stieltjes 적분의 존재를 보장하고 변동 노름을 제어하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분수 Brown 운동에 의해 구동되는 확률적 스위핑 프로세스가 Skorokhod 문제의 관점에서 고유한 해를 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ2 조절자 프로세스 K_t의 p-변동은 주어진 신호와 경계 역학의 p-변동과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 고전적 Skorokhod 문제 프레임워크는 비-세미마르팅게일 노이즈, 예를 들어 분수 Brown 운동으로까지 확장될 수 있는가?
• RQ4 fBm 기반 스위핑 프로세스의 수치적 방법의 수렴을 보장하는 조건는 무엇인가?
• RQ5 p-변동 위상에서의 외부 힘, 확산 및 경계 함수의 변화에 대해 해는 어떻게 행동하는가?

주요 결과

• 계수와 경계에 대해 적절한 정규성과 유계 p-변동 조건이 만족될 경우, fBm 기반 스위핑 프로세스의 해는 존재하고 유일하다.
• 두 해의 조절자 프로세스의 차이는 p-변동 추정식을 만족한다: V_p(K^1 - K^2)_T ≤ V_p(Y^1 - Y^2)_T, 여기서 Y^i_t = ∫f^i(s,X^i_s)ds + ∫g^i(s,X^i_s)dB^H_s.
• 조절자 프로세스의 p-변동은 주어진 신호의 p-변동에 의해 제어되며, 변화에 대한 안정성을 확립한다.
• 단계 함수 근사를 기반으로 한 수치적 방법의 수렴은 Skorokhod 공간 D(R+; R^d)에서의 극한 추론을 통해 증명된다.
• 세미마르팅게일 적분을 경로 기반 Riemann-Stieltjes 적분으로 대체함으로써, 고전적 브라운 운동 결과를 분수 Brown 운동으로 일반화한다.
• 유계 p-변동을 갖는 càdlàg 경계를 갖는 이동하는 볼록 집합 C_t = [L_t, U_t]에 대해서도 이론이 적용되며, 이는 타당성과 반사의 보장을 제공한다.