[논문 리뷰] Symbolic dynamics for surface diffeomorphisms with positive topological entropy

Omri Sarig|arXiv (Cornell University)|2011. 05. 09.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 22인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 위상적 엔트로피가 양수인 표면 미분동형사상에 대해 가чёт한 마르코프 분할을 구성하여, 최대 엔트로피를 가진 임의의 엔트로피 임계값 이하의 전측 불변 집합에서 기호 역학을 가능하게 한다. 주요 결과는 J. Buzzi의 추측을 증명하는 것으로, 이러한 시스템은 최대 가чёт한 수의 에르고딕 측도를 가진다. 또한 A. Katok의 추측을 확인하여 C^1+β 미분동형사상에 대해 limsup e^{-nh_top}P_n(f) > 0 임을 보여준다.

ABSTRACT

Suppose f is a C^{1+ε} surface diffeomorphism with positive topological entropy. For every positive δstrictly smaller than the topological entropy of f we construct an invariant Borel set E such that (a) f|E has a countable Markov partition; and (b) E has full measure with respect to any ergodic invariant probability measure with entropy larger than δ. This allows us to prove the following conjecture of A. Katok: if f is C^\infty with topological entropy h>0, and if P_n(f)=#{x:f^n(x)=x}, then limsup P_n(f)/exp(nh)>0.

연구 동기 및 목표

• 위상 엔트로피가 양수인 C^1+β 표면 미분동형사상에 대해 가чёт한 마르코프 분할을 통해 기호 역학을 수립한다.
• J. Buzzi의 최대 엔트로피를 가진 에르고딕 측도의 가чёт성에 관한 추측을 해결한다.
• C^∞ 표면 미분동형사상에 대해 limsup e^{-nh_top}P_n(f) > 0 임을 증명함으로써 A. Katok의 추측을 증명한다.
• 유한한 전이 수를 가지며 허더 연속적 코딩 함수를 갖는 마르코프 확장을 개발한다.

제안 방법

• 페신 이론과 비균일 초월성에 기반한 국소적으로 유한한 가чёт한 마르코프 커버를 구성한다.
• 페신 차트와 리아풀로프 좌표변환을 활용하여 초월성 점 근처의 역학을 선형화한다.
• 중첩되는 차트와 ε-체인을 정의하여 그래프 변환 하에서 적합한 다변량을 통해 궤도를 모델링한다.
• 보웬–사이먼의 정밀화를 적용하여 기호 마르코프 성질을 갖는 가чёт한 마르코프 분할을 구성한다.
• 스케일링과 윈도우 파라미터를 사용하여 차트 체계 내에서 동적 윈도우의 크기와 겹침을 제어한다.
• 유向 그래프와 허더 연속적 코딩 함수 π_χ를 통해 유한-일대일 마르코프 확장을 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 위상 엔트로피가 양수인 C^1+β 표면 미분동형사상은 최대 가чёт한 수의 최대 엔트로피를 가진 에르고딕 측도를 갖는가?
• RQ2 C^∞ 표면 미분동형사상에 대해 e^{-nh_top(f)} × n주기점의 수의 limsup가 양수 상한에 의해 아래로 유계인지 여부는?
• RQ3 위상 엔트로피가 χ < h_top(f) 인 점들의 집합에 대해 가чёт한 마르코프 분할을 구성할 수 있는가?
• RQ4 각 χ < h_top(f) 에 대해, 전체 측도에서 유한한 전이 수를 가지며, 전체 측도에서의 전측 불변 집합에 대해 기호 마르코프 시스템으로의 반연속성 사상이 존재하는가?
• RQ5 동일한 궤도를 그림자화하는 정규 체인은 반복 시 지수적으로 가까워지는가?

주요 결과

• 모든 0 < χ < h_top(f) 에 대해, 국소적으로 컴acts한 기호 마르코프 시스템 Σ_χ 와 허더 연속적 사상 π_χ: Σ_χ → M 가 존재하여 π_χ ∘ σ = f ∘ π_χ 를 만족하고, π_χ[Σ_χ^#] 는 χ-크기이다.
• 시스템은 최대 엔트로피를 가진 에르고딕 불변 확률 측도를 최대 가чёт한 수만 가지며, Buzzi의 추측을 확인한다.
• C^1+β 미분동형사상에 대해 위상 엔트로피가 양수이고 최대 엔트로피 측도가 존재한다면, liminf_{n→∞, p|n} e^{-nh_top(f)} P_n(f) > 0 이다.
• C^∞ 표면 미분동형사상에 대해 주기점의 수는 limsup_{n→∞} e^{-nh_top(f)} P_n(f) > 0 를 만족하며, Katok의 추측을 확인한다.
• 동일한 궤도를 그림자화하는 정규 체인은 반복 시 지수적으로 가까워지며, 거리가 e^{-nχ/2} × 크기 비율만큼 감소한다.
• 마르코프 확장은 유한-일대일이며, π_χ의 상에 속하는 모든 점은 유한한 수의 전이 수를 갖는다.