[논문 리뷰] Symbolic dynamics for the Teichmueller flow

Ursula Hamenstaedt|arXiv (Cornell University)|2011. 12. 28.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 24인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 3g−3+m>1인 표면에서 위상수학적 종수 g와 m개의 구멍을 가진 2차 및 아벨 미분형식의 계열에서 테이히뮐러 흐름에 대한 기호 역학을 구축한다. 유한형 부분이드를 도입하고 보렐 수축을 정의하여 테이히뮐러 흐름으로의 유한 대일 준동형을 수립함으로써, 르베그 측도가 최대 엔트로피 측도로서 유일함을 증명하고, 주기 궤도의 점 渐진적 성장률과 지수 혼합성을 유도한다.

ABSTRACT

Let S be an oriented surface of genus g with m punctures and 3g-3+m>1. For each component of a stratum in the moduli space of quadratic or abelian differentials, we construct a subshift of finite type and a Borel suspension which admits a finite-to-one semi-conjugacy into the Teichmueller flow on Q. This is used to show that the Lebesgue measure on Q is the unique measure of maximal entropy. If h is the entropy of the Lebesgue measure, then for every a>0 there is a compact subset K of Q such that the entropy of an invariant Borel probability measure on Q-K does not exceed h-1+a. Moreover, the growth rate of periodic orbits in Q-K does not exceed h-1+a$. This implies that the number of periodic orbits in Q of period at most R is asymptotic to exp(hR)/hR.Finally we give a unified and simplified proof of exponential mixing for the Lebesgue measure on strata.

연구 동기 및 목표

• 3g−3+m>1인 표면에서 2차 및 아벨 미분형식의 계열에서 테이히뮐러 흐름에 대한 기호 코딩을 수립하기 위해.
• 계열에서 르베그 측도가 테이히뮐러 흐름에 대해 최대 엔트로피 측도로서 유일함을 보여주기 위해.
• 계열의 컴팩트 부분집합 외부에서의 주기 궤도의 엔트로피와 성장률을 분석하기 위해.
• 2차 및 아벨 미분형식 계열에서 르베그 측도의 지수 혼합성에 대한 통합적이고 단순화된 증명을 제공하기 위해.

제안 방법

• 각 계열의 연결 성분에서 테이히뮐러 흐름의 역학을 모델링하는 유한형 부분이드를 구성하기 위해.
• 부분이드 위에 보렐 수축을 정의하여 테이히뮐러 흐름으로의 준동형을 실현하기 위해.
• 유한 대일 준동형을 통해 기호 시스템에서의 엔트로피와 주기 궤도 성장 성질을 테이히뮐러 흐름으로 이행하기 위해.
• 컴팩트 부분집합의 보다 외부에서의 불변 측도의 엔트로피를 제한하기 위해 기호 모델을 적용하기 위해.
• 엔트로피 제한을 이용하여 주기 궤도 수의 점 渐진적 추정을 주기 R 이하에 대해 도출하기 위해.
• 기호적 구조를 활용하여 르베그 측도의 지수 혼합성에 대한 증명을 단순화하고 통합하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 계열의 2차 또는 아벨 미분형식에서 르베그 측도는 테이히뮐러 흐름에 대해 최대 엔트로피 측도로서 유일한가?
• RQ2 계열의 컴팩트 부분집합의 보다 외부에서의 불변 측도의 엔트로피는 어떻게 감소하는가?
• RQ3 주기 R 이하의 주기 궤도 수의 점 渐진적 성장률은 무엇인가?
• RQ4 기호 역학을 이용하여 2차 및 아벨 미분형식 계열에서 르베그 측도의 지수 혼합성 특성을 통합적이고 단순화된 방식으로 증명할 수 있는가?
• RQ5 기호 모델은 테이히뮐러 흐름의 에르고딕성 및 동역학적 성질을 어느 정도 정확하게 반영하는가?

주요 결과

• 각 계열에서 르베그 측도는 테이히뮐러 흐름에 대해 최대 엔트로피 측도로서 유일하다.
• 모든 a>0에 대해, 계열의 컴팩트 부분집합 K가 존재하여, 보다 외부에서의 모든 불변 측도의 엔트로피는 h−1+a 이하가 된다. 여기서 h는 르베그 측도의 엔트로피이다.
• K의 보다 외부에서 주기 궤도의 성장률은 exp((h−1+a)R) 이하로 제한되며, 이는 주기 R 이하의 총 주기 궤도 수가 exp(hR)/(hR)에 점 渐진적으로 수렴함을 의미한다.
• 계열 내 주기 R 이하의 주기 궤도 수는 점 渐진적으로 exp(hR)/(hR)에 수렴한다. 여기서 h는 르베그 측도의 위상 엔트로피이다.
• 이 논문은 2차 및 아벨 미분형식 계열에서 르베그 측도의 지수 혼합성에 대한 통합적이고 단순화된 증명을 제공한다.
• 부분이드의 유한형과 보렐 수축을 통한 기호 모델은 엔트로피와 주기 궤도 성장에 대한 정밀한 제어를 가능하게 하여 강력한 동역학적 결론을 이끌어낸다.