[논문 리뷰] Symbolic extensions for partially hyperbolic diffeomorphisms

Lorenzo J. Díaz, Todd Fisher|ArXiv.org|2009. 06. 11.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 32인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 1차원 중심(bundle)을 가진 부분적으로 초구형 미분동형사상이 점점 더 가까이 다가오는 h-확장성(asymptotic h-expansiveness)을 이용해 주된 기호적 확장을 갖는다는 것을 증명한다. 반대로, 비초구형으로 강하게 전이적인 집합과 중심(bundle) 차원이 2 이상인 C¹-일반적인 미분동형사상은 지속적인 동형접선 오차(persistent homoclinic tangencies)와 불변 측도에서의 엔트로피 증가로 인해 기호적 확장을 갖지 못한다는 것을 증명한다.

ABSTRACT

We show that every partially hyperbolic diffeomorphism with a 1-dimensional center bundle has a principal symbolic extension. On the other hand, we show there are no symbolic extensions $C^1$-generically among diffeomorphisms containing non-hyperbolic robustly transitive sets with center indecomposable bundle of dimension at least 2.

연구 동기 및 목표

• 비초구형 시스템에서 기호적 확장이 존재하는 동역학적 조건을 규명하는 것.
• 중심(bundle) 차원과 정규성(regularity)이 기호적 확장 존재성에 미치는 역할을 조사하는 것.
• 1차원 중심(bundle)을 가진 부분적으로 초구형 미분동형사상에 대해 주된 기호적 확장을 확립하는 것.
• 비초구형으로 강하게 전이적인 집합과 중심(bundle) 차원 ≥2를 가진 C¹-일반적인 미분동형사상에서 기호적 확장이 존재하지 않는 것을 증명하는 것.
• 지속적인 동형접선 오차와 엔트로피 증가가 기호적 확장 실패와 어떻게 연결되는지 밝히는 것.

제안 방법

• Boyle, Fiebig, Misiurec의 이전 결과를 바탕으로, 점점 더 가까이 다가오는 h-확장성이 주된 기호적 확장을 위한 충분조건로 사용된다.
• Buzzi의 결과를 응용하여 C∞-미분동형사상이 점점 더 가까이 다가오는 h-확장성임을 증명함으로써 1차원 중심 케이스에서 존재성을 확립한다.
• 분할에 대해 하위의 초구형 기본집합을 구성하여 불변 측도에서의 엔트로피 증가를 분석한다.
• 정규 초구형 표면에서 이차형 동형접선 오차를 생성하기 위해 변형 기법을 적용함으로써 문제를 2차원 역학으로 축소한다.
• 엔트로피 구조 이론과 측도론적 엔트로피 이론을 적용하여 엔트로피 차이가 양의 임계값을 초과함을 보인다.
• C¹ 위상에서 잔여집합과 일반성 논증을 사용하여 중심(bundle) 차원이 높을 경우의 기호적 확장 존재 불가를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1차원 중심(bundle)을 가진 부분적으로 초구형 미분동형사상이 주된 기호적 확장을 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ2 비초구형으로 강하게 전이적인 집합과 중심(bundle) 차원 ≥2를 가진 C¹-일반적인 미분동형사상에서 기호적 확장이 존재할 수 있는가?
• RQ3 지속적인 동형접선 오차는 미분동형사상에서 기호적 확장 존재성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 주기 궤도와 관련된 측도론적 엔트로피 증가는 기호적 확장의 방해 요소로 작용하는가?
• RQ5 중심(bundle) 차원이 기호적 확장 존재 또는 비존재를 결정하는 데 얼마나 중요한가?

주요 결과

• 모든 부분적으로 초구형 미분동형사상 중에서 1차원 중심(bundle)을 가진 것은 점점 더 가까이 다가오는 h-확장성이며, 따라서 주된 기호적 확장을 갖는다.
• 비초구형으로 강하게 전이적인 집합과 중심(bundle) 차원이 2 이상인 C¹-일반적인 미분동형사상은 기호적 확장을 갖지 않는다.
• 기호적 확장의 부재는 지속적인 동형접선 오차로 인해 발생하며, 이는 불변 측도에서 엔트로피 증가를 유도한다.
• 각각의 이러한 일반적인 미분동형사상에 대해, topological과 partition 엔트로피 차이의 상한이 ρ₀ = χr+1(g,U)/2인 양의 임계값을 초과한다.
• 주기적인 초구형 기본집합 Λ(q,n)의 구성은 에르고딕 측도가 주기 측도의 w∗-극한이며, hνn(g) > (n−1)/n · χr+1(q)를 만족한다.
• 이러한 측도에서 αk₀의 엔트로피는 0이며, 이는 엔트로피 차이가 임계값 ρ₀를 초과하게 하여 기호적 확장에 필요한 조건을 위반하게 한다.