[논문 리뷰] Symbolic extensions of amenable group actions and the comparison property

Tomasz Downarowicz, Guohua Zhang|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 05.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 39인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 가산 애먼 군의 작용에 대해 기호적 확장 엔트로피 정리(SEET)를 수립하며, 불변 측도의 단체 위의 함수가 기호적 확장의 엔트로피 함수일 조건을 증명한다. 즉, 그 함수가 (X,G)의 엔트로피 구조의 유한한 아핀 상위포장이어야만 한다. 핵심 결과는 tiling 시스템과 Følner 준타일링을 이용해 구성된 준기호적 확장을 통해 SEET를 비교 성질을 갖는 군—예를 들어, 초지수적 및 잔여 유한 군—으로 확장하는 것이다.

ABSTRACT

Symbolic Extension Entropy Theorem (SEET) describes the possibility of a lossless digitalization of a dynamical system by extending it to a subshift. It gives an estimate on the entropy of symbolic extensions (and the necessary number of symbols). Unlike in the measure-theoretic case, where Kolmogorov--Sinai entropy is the estimate, in the topological setup the task reaches beyond the classical theory of entropy. Tools from an extended theory of entropy structures are needed. The main goal of this paper is to prove the SEET for actions of countable amenable groups: Let a countable amenable group $G$ act by homeomorphisms on a compact metric space $X$ and let $\mathcal M_G(X)$ denote the simplex of $G$-invariant probability measures on $X$. A function $E $ on $\mathcal M_G(X)$ equals the extension entropy function $h^π$ of a symbolic extension $π:(Y,G) o (X,G)$, where $h^π(μ)=\sup\{h_ν(Y,G): ν\inπ^{-1}(μ)\}$ ($μ\in\mathcal M_G(X)$), if and only if $E $ is an affine superenvelope of the entropy structure of $(X,G)$. The statement is preceded by presentation of the concepts of an entropy structure and superenvelopes, adapted from $\mathbb Z$-actions. In full generality we prove a slightly weaker version of SEET, in which symbolic extensions are replaced by quasi-symbolic extensions, i.e., extensions in form of a joining of a subshift with a zero-entropy tiling system. The notion of a tiling system is a subject of earlier works and in this paper we review and complement the theory developed there. The full version of the SEET is proved for groups which are either residually finite or enjoy the comparison property. In order to describe the range of our theorem, we devote a large portion of the paper to the comparison property. Our main result in this aspect shows that all subexponential groups have the comparison property (and thus satisfy the SEET).

연구 동기 및 목표

• 기호적 확장 엔트로피 정리(SEET)를 ℤ-작용에서 가산 애먼 군 작용으로 확장하기.
• 기호적 확장에서 유래하는 불변 측도의 단체 위의 함수들이 어떤 조건을 만족해야 하는지 특성화하기.
• 비교 성질이 진정한 기호적 확장(준기호적 확장이 아닌)을 가능하게 하는 역할을 도입하고 연구하기.
• 편집 가능한 타일링 시스템 이론을 개발하고, 낮은 엔트로피 기호적 확장을 구성하는 데 응용하기.
• 모든 초지수적 군이 비교 성질을 만족함을 보여, 이러한 군에 대해 전체 SEET가 성립함을 보여주기.

제안 방법

• ℤ-작용에서의 엔트로피 구조와 상위포장 이론을 일반적인 가산 애먼 군 작용으로 일반화하기.
• 엔트로피가 0인 타일링 시스템과 부분이격의 하위시프트의 합성으로서 준기호적 확장을 정의하여 제어 가능한 엔트로피를 갖는 기호적 확장을 구성하기.
• 완전 인식 가능하고 서로소인 Følner 준타일링 시스템을 정의하여 블록 부호를 이용해 동역학 시스템을 인코딩하기.
• 타일링 구조가 0 위상 엔트로피를 갖는 부분이격에 인코딩될 수 있도록 허용하는 코드 가능 타일링 시스템 개념을 도입하기.
• Banach 밀도와 Følner 수열을 통한 정의에 기반한 비교 성질이 기호적 확장의 존재를 암시함을 증명하기.
• 두 기호에 대해 위상 엔트로피가 0인 완전히 인코딩 가능한 Følner 시스템의 서로소 준타일링을 구성하여 최소 기호 인코딩을 가능하게 하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어느 가산 애먼 군들에 대해 기호적 확장 엔트로피 정리가 전체 형태로 성립하는가?
• RQ2 어떤 조건이 불변 측도의 단체 위의 함수가 기호적 확장의 엔트로피 함수가 되도록 보장하는가?
• RQ3 타일링 시스템과 준타일링은 어떻게 최소 엔트로피를 갖는 기호적 확장을 구성하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ4 비교 성질과 애먼 군 작용에서 기호적 확장의 존재성 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 초지수적, 잔여 유한 군 등 어떤 군의 클래스들이 비교 성질을 만족하며, 따라서 전체 SEET를 허용하는가?

주요 결과

• 함수 $ E_{\text{A}} $가 단체 $ \fancyscript{M}_G(X) $ 위에 정의되어 있을 때, 이 함수가 기호적 확장의 엔트로피 함수일 조건은 $ (X,G) $의 엔트로피 구조의 유한한 아핀 상위포장이어야 한다. 이는 비교 성질을 갖는 군에 대해 전체 SEET를 수립한다.
• 전체 SEET는 모든 잔여 유한 군과 모든 초지수적 군에 대해 성립하며, 이들 군이 비교 성질을 만족함을 보였다.
• 모든 초지수적 군은 비교 성질을 만족하며, 이는 그들이 엔트로피 구조의 상위포장과 정확히 일치하는 엔트로피를 갖는 기호적 확장을 허용함을 의미한다.
• 위상 엔트로피가 0인 두 기호에 대해 완전히 인코딩 가능한 Følner 시스템의 서로소 준타일링이 존재하며, 이는 최소 기호 인코딩을 가능하게 한다.
• 비교 성질은 Banach 밀도와 Følner 수열을 통해 특성화되며, 이는 기호적 확장의 존재에 대한 군론적 기준을 제공한다.
• 준기호적 확장—엔트로피가 0인 타일링 시스템과 부분이격의 합성—을 사용하여 전체 일반성에서 SEET의 약한 형태를 증명하였으며, 전체 정리는 비교 성질이 필요하다.