[논문 리뷰] Symbolic Models for Stochastic Switched Systems: A Discretization and a Discretization-Free Approach

Majid Zamani, Alessandro Abate외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 07. 10.

Formal Methods in Verification참고 문헌 5인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 확률적 스위치 시스템을 위한 두 가지 기호적 추상화 기법을 제안한다: 상태공간 이산화가 필요한 것과 그렇지 않은 것. 이중 어느 것도 안정성 가정 하에 약간의 유사성(approximately bisimilar)을 보이는 유한 모델을 생성한다. 주요 기여는 복잡한 논리 사양(예: 선형 시간 논리)을 갖는 제어기의 형식적 합성을, 이러한 기호적 모델에서 자동차 이론적 방법을 통해 가능하게 한다. 이는 여섯 개의 방이 있는 건물의 온도 제어 사례 연구를 통해 검증되었으며, 성능이 확인되었다.

ABSTRACT

Stochastic switched systems are a relevant class of stochastic hybrid systems with probabilistic evolution over a continuous domain and control-dependent discrete dynamics over a finite set of modes. In the past few years several different techniques have been developed to assist in the stability analysis of stochastic switched systems. However, more complex and challenging objectives related to the verification of and the controller synthesis for logic specifications have not been formally investigated for this class of systems as of yet. With logic specifications we mean properties expressed as formulae in linear temporal logic or as automata on infinite strings. This paper addresses these complex objectives by constructively deriving approximately equivalent (bisimilar) symbolic models of stochastic switched systems. More precisely, this paper provides two different symbolic abstraction techniques: one requires state space discretization, but the other one does not require any space discretization which can be potentially more efficient than the first one when dealing with higher dimensional stochastic switched systems. Both techniques provide finite symbolic models that are approximately bisimilar to stochastic switched systems under some stability assumptions on the concrete model. This allows formally synthesizing controllers (switching signals) that are valid for the concrete system over the finite symbolic model, by means of mature automata-theoretic techniques in the literature. The effectiveness of the results are illustrated by synthesizing switching signals enforcing logic specifications for two case studies including temperature control of a six-room building.

연구 동기 및 목표

• 복잡한 논리 사양 하에서 확률적 스위치 시스템의 검증 및 제어기 합성에 대한 형식적 방법의 부족을 해결하기 위해.
• 정확도 보장이 보장되는 유한 기호 모델을 개발하여, 확률적 스위치 시스템과 약간의 유사성을 가지도록 하기 위해.
• 정확도와 계산 효율성의 균형을 맞추기 위해 상태공간 이산화가 있는 접근법과 없는 접근법을 모두 제공하기 위해.
• 기본 시스템으로의 결과 전이를 보장하기 위해, 기호 모델에서 성숙한 자동차 이론적 기법을 활용한 제어기 합성을 가능하게 하기 위해.
• 실세계 사례 연구를 통해 접근법을 검증하기 위해: 여섯 개의 방이 있는 건물의 온도 제어에 LTL 사양을 적용한 사례.

제안 방법

• 공통 또는 다중 δ-GAS-Mq 리아프노프 함수를 사용하여, 안정성과 유한한 근사 오차를 보장하는 약간의 유사성 기반 기호 모델을 구성한다.
• 첫 번째 접근법에서 상태공간 이산화를 적용하며, 정밀도는 리아프노프 함수의 경계와 샘플링 시간 τ로부터 유도된 매개변수 ε로 제어된다.
• 입력 집합의 이산화와 시간 수평 N을 활용하여 이산화 없음 접근법을 도입함으로써, 전체 상태공간 이산화 대비 모델 크기를 감소시킨다.
• 기호 추상화를 효율적으로 계산하기 위해 CoSyMA 도구를 사용하며, 검증을 위해 계산 메트릭스(CPU 시간, 메모리 사용량)를 보고한다.
• 유한 기호 모델에 자동차 이론적 합성을 적용하여, LTL 사양을 만족하는 스위칭 신호를 생성한다.
• 실험적 시뮬레이션을 통해 추상화 품질을 검증하며, 이론적 정밀도 한계와 비교하여 평균 궤적 거리를 안정 집합과 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 안정성 가정 하에 확률적 스위치 시스템에 대해 약간의 유사성을 가지는 유한 기호 모델을 구성할 수 있는가?
• RQ2 어떻게 하면 복잡한 논리 사양(예: LTL 공식)을 갖는 확률적 스위치 시스템에서 제어기 합성을 달성할 수 있는가?
• RQ3 상태공간 이산화와 이산화 없는 접근법을 사용할 때 정확도와 계산 효율성 사이의 상호 보완적 관계는 어떠한가?
• RQ4 고차원 시스템에서 이산화 없는 방법이 전체 이산화 대비 상당히 더 작은 기호 모델을 생성할 수 있는가?
• RQ5 실제로 합성된 제어기는 안정 집합 내에서 궤적을 유지하는 데 얼마나 잘 작동하는가?

주요 결과

• 상태공간 이산화를 적용한 기호 모델 $ S_{\text{q}}(\tilde{Σ}_{\tau_d}) $ 는 9,310,320개의 상태를 가지며, 3.4 MB의 메모리 사용량을 보이고, 3.5 GHz i7 CPU를 사용해 22초 만에 계산되었다.
• 이산화 없는 기호 모델 $ \overline{S}_{\overline{\text{q}}}(\tilde{\u03a3}_{\tau_d}) $ 는 4,194,304개의 상태를 가지며, 이는 이산화 모델의 약 50% 크기이다.
• LTL 사양 $ \Box\mathsf{D} \land \Box\neg\mathsf{Z} $ 를 위한 제어기 합성은 12.46초 만에 완료되었으며, 궤적이 안전 집합 $ \mathsf{D} $ 내에 머물고 불안전 집합 $ \mathsf{Z} $ 를 피하는 것을 보장했다.
• 실험적 평균 궤적 거리가 이론적 정밀도 $ \varepsilon = 1.2 $ 보다 상당히 낮게 나타나, 실질적인 성능이 더 탐색된 것으로 나타났다.
• 이 방법은 여섯 개의 방이 있는 건물의 온도 제어 사례 연구에서 논리 사양을 이행하는 스위칭 신호를 성공적으로 합성하여, 확장성과 정확성을 입증했다.
• 이산화 모델과 이산화 없는 모델 간의 선택은 모델 크기를 기준으로 할 수 있으며, 고차원 시스템에서는 후자가 더 효율적이다.