[논문 리뷰] Symmetric and skew-symmetric block-Kronecker linearizations

Heike Faßbender, Javier Pérez외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 06.

Matrix Theory and Algorithms참고 문헌 23인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 홀수 또는 짝수 차수인 행렬 다항식에 대한 통합적이고 구조를 유지하는 프레임워크로 대칭 및 반대칭 블록-크로네cker 선형화를 소개한다. 최소 기저 피벗을 활용함으로써 정규성 여부에 관계없이 강한 선형화를 보장하며, 고유벡터, 최소 지수, 기저를 직접 복원할 수 있게 해주며, 반복이 있는 티드러 피벗보다 더 단순한 대안을 제공한다. 이는 기존의 알려진 콜레기언 형식들을 포함한다.

ABSTRACT

Many applications give rise to structured matrix polynomials. The problem of constructing structure-preserving strong linearizations of structured matrix polynomials is revisited in this work and in the forthcoming ones \cite{PartII,PartIII}. With the purpose of providing a much simpler framework for structure-preserving linearizations for symmetric and skew-symmetric matrix polynomial than the one based on Fiedler pencils with repetition, we introduce in this work the families of (modified) symmetric and skew-symmetric block Kronecker pencils. These families provide a large arena of structure-preserving strong linearizations of symmetric and skew-symmetric matrix polynomials. When the matrix polynomial has degree odd, these linearizations are strong regardless of whether the matrix polynomial is regular or singular, and many of them give rise to structure-preserving companion forms. When some generic nonsingularity conditions are satisfied, they are also strong linearizations for even-degree regular matrix polynomials. Many examples of structure-preserving linearizations obtained from Fiedler pencils with repetitions found in the literature are shown to belong (modulo permutations) to these families of linearizations. In particular, this is shown to be true for the well-known block-tridiagonal symmetric and skew-symmetric companion forms. Since the families of symmetric and skew-symmetric block Kronecker pencils belong to the recently introduced set of minimal bases pencils \cite{Fiedler-like}, they inherit all its desirable properties for numerical applications. In particular, it is shown that eigenvectors, minimal indices, and minimal bases of matrix polynomials are easily recovered from those of any of the linearizations constructed in this work.

연구 동기 및 목표

• 대칭 및 반대칭 행렬 다항식에 대한 더 단순하고 통합된 구조를 유지하는 선형화 프레임워크를 개발하기 위해.
• DL(P) 피벗과 반복이 있는 티드러 피벗 등의 기존 접근법의 한계를 극복하기 위해, 새로운 종류의 블록-크로네cker 피벗을 도입하기 위해.
• 특히 홀수 차수의 경우를 포함하여 정규 및 비정규 행렬 다항식에 대해 강한 선형화를 보장하기 위해.
• 복잡한 변환 없이도 고유벡터, 최소 지수, 최소 기저를 선형화로부터 직접 복원할 수 있도록 하기 위해.
• 기존에 알려진 콜레기언 형식(예: 블록-삼중대각형)이 제안된 가족의 특수 케이스임을 보여주기 위해.

제안 방법

• 최소 기저 피벗에서 유도된 두 가지 새로운 가족: 대칭 및 반대칭 블록-크로네cker 피벗과 그 수정형을 도입한다.
• 특정 패턴을 가진 구조적 블록 행렬을 사용하여 선형화를 구성하며, 여기서는 $ P_k $, $ I_n $, $ ext{sign}( au) I_n $, $ ext{sign}( au) au I_n $를 포함한다. 여기서 $ au = ext{sign}( ext{대칭성}) $이다.
• 반전 연산 $ ext{rev}P( au) = \tau^d P(1/\tau) $을 적용하여 반전된 다항식의 선형화를 원래 도메인으로 되돌린다.
• 최소 기저 피벗 이론과 강한 최소 기저 피벗 이론을 활용하여 구조적 및 수치적 성질을 보장한다.
• 치환 동치성을 활용하여 기존의 알려진 콜레기언 형식(예: 블록-삼중대각형)이 제안된 선형화의 특수 케이스임을 보여준다.
• 특히 선형화의 고유벡터의 $ (t+1) $-번째 블록을 통해 명시적인 고유벡터 복원 절차를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대칭 및 반대칭 행렬 다항식에 대한 통합적이고 더 단순한 구조를 유지하는 선형화 프레임워크를 개발할 수 있는가?
• RQ2 대칭 및 반대칭 블록-크로네cker 피벗은 정규 및 비정규 행렬 다항식, 특히 홀수 차수의 경우에 대해 강한 선형화를 제공하는가?
• RQ3 이 선형화들은 고유벡터, 최소 지수, 최소 기저를 원래 행렬 다항식으로부터 간편하게 복원할 수 있는가?
• RQ4 기존에 알려진 구조적 콜레기언 형식(예: 블록-삼중대각형)은 이 새로운 프레임워크 내에서 특수 케이스로 복원 가능한가?
• RQ5 약간의 비특이성 조건 하에 짝수 차수의 행렬 다항식에 대해 구조를 유지하는 강한 선형화를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 대칭 및 반대칭 블록-크로네cker 피벗은 정규성 여부에 관계없이 홀수 차수의 행렬 다항식에 대해 강한 선형화이다.
• 후행 또는 선행 계수의 비특이성이 보장된 짝수 차수의 정규 행렬 다항식의 경우, 수정된 블록-크로네cker 피벗은 강한 선형화를 제공한다.
• 가장 단순한 대칭 및 반대칭 블록-크로네cker 피벗은 잘 알려진 블록-삼중대각형 콜레기언 형식의 치환된 형태이다.
• 행렬 다항식의 고유벡터는 선형화의 고유벡터의 $ (t+1) $-번째 블록에서 직접 복원된다. 여기서 $ t = d/2 $는 짝수 차수일 때이다.
• 최소 기저의 구조 덕분에 다항식의 최소 지수와 최소 기저는 선형화의 것들로부터 쉽게 복원된다.
• 이 프레임워크는 기존의 반복이 있는 티드러 피벗을 포함하며, 치환에 의해 제안된 가족의 특수 케이스임을 보여준다.