[논문 리뷰] Symmetric extension of bipartite quantum states and its use in quantum key distribution with two-way postprocessing

Geir Ove Myhr|arXiv (Cornell University)|2011. 03. 03.

Quantum Information and Cryptography참고 문헌 69인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 이분기 양자 상태의 대칭 확장을 조사하며, 대칭 확장을 갖는 상태는 고전적으로 행동하며 높은 오차율에서 양자 키 분배(QKD)와 호환되지 않는다는 것을 보여준다. 이는 모든 이러한 상태가 순수 대칭 확장을 갖는 상태들의 볼록 조합으로 분해될 수 있음을 증명하며, 기존의 양방향 이점 정제 프로토콜이 현재의 6상태 프로토콜 기준 오차율 27.6%에서 대칭 확장을 깨뜨리지 못함을 보여주며, 이러한 방법으로는 향상이 불가능하다는 것을 의미한다.

ABSTRACT

We investigate which bipartite quantum states admit a symmetric extension and apply the results in the analysis of noise thresholds in quantum key distribution protocols with two-way postprocessing. We find that states that admit a symmetric extension can be decomposed into a convex combination of states that admit a_pure_ symmetric extension. For a state to have a pure symmetric extension, its nonzero eigenvalues must be equal to the nonzero eigenvalues of one of the subsystems. While this does not fully characterize the set of states with a pure symmetric extension in all dimensions, it is a full characterization for two qubits. A conjectured formula characterizing two-qubit states with a (mixed or pure) symmetric extension is presented. Proofs are given for some special classes. For multi-qubit Bell-diagonal states, the symmetric extension is simplified using the symmetries of the states and formulated as a semidefinite program. Quantum key distribution with two-way advantage distillation steps is then analyzed. For the commonly used repetition code advantage distillation, the failure to distill a secret key beyond the currently known noise thresholds is explained by a failure to break a symmetric extension. More general linear advantage distillation schemes are analyzed, but for those schemes analyzed, we find that they tolerate strictly less noise than repetition code advantage distillation before they fail to break a symmetric extension. The results suggest that no other linear advantage distillation scheme can reach the noise threshold of 27.6 % for the six-state protocol which is achieved by repetition code advantage distillation.

연구 동기 및 목표

• 대칭 확장을 갖는 이분기 양자 상태의 집합을 특성화하는 것 — 이러한 상태는 고전적으로 행동하며 양자 우월성과 호환되지 않는다.
• 두 큐비트 상태가 순수 대칭 확장을 갖는 데 필요한 필수 및 충분 조건을 규명하고, 기존의 스펙트럼 조건을 일반화하는 것.
• 특히 BB84 및 6상태 프로토콜과 같은 프로토콜에서 고오차율 조건에서 대칭 확장이 양자 키 분배(QKD)에 미치는 역할을 분석하는 것.
• 양방향 이점 정제 프로토콜이 대칭 확장을 깨뜨리고 비밀 키 생성을 가능하게 하는지 효과적으로 평가하는 것.
• 현재 및 일반화된 양방향 정제 프로토콜이 6상태 QKD 프로토콜에서 27.6% 오차 기준을 초월할 수 없다는 것을 보여주는 것.

제안 방법

• 대칭 확장을 갖는 모든 상태가 순수 대칭 확장을 갖는 상태들의 볼록 조합으로 분해될 수 있음을 증명한다.
• 순수 대칭 확장을 갖기 위한 조건으로 국소 밀도 행렬과 전체 밀도 행렬의 스펙트럼이 동일한 것이 필수 조건임을 입증하며, 이 조건이 두 큐비트 시스템에서는 충분조건이 됨을 보여준다.
• 질량 2, 대칭 부분공간, 벨 대각선, 그리고 $S^{/dagger} \otimes S$-불변 상태와 같은 특정 상태 클래스를 분석하여 대칭 확장 조건에 대한 해석적 증명을 제공한다.
• 다중 큐비트 벨-대각선 상태에 대한 대칭 확장 문제를 준선형계획문제(SDP)로 환원하여 효율적인 수치 분석을 가능하게 한다.
• 선형 및 이차 제약 조건을 충족시키기 위해 단위 랭크 업데이트와 대각선 보정을 사용하는 수치적 반복적 구성 방법을 제안한다.
• 고오차 상태에서 대칭 확장을 제거할 수 있는지 여부를 검토하여 이점 정제 프로토콜의 성능을 평가한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 큐비트 양자 상태가 대칭 확장을 갖는 데 필요한 필수 및 충분 조건은 무엇인가? 특히 순수 대칭 확장을 갖는 경우에 대해.
• RQ2 다중 큐비트 벨-대각선 상태에 대한 대칭 확장 문제는 해석 가능한 준선형계획문제(SDP)로 환원될 수 있는가?
• RQ3 QKD에서 사용되는 표준 양방향 이점 정제 프로토콜은 고오차 영역에서 대칭 확장을 효과적으로 깨뜨리는가?
• RQ4 현재 정제 프로토콜의 일반화된 형태가 6상태 QKD 프로토콜에서 27.6% 오차 기준을 초월할 수 있는가?
• RQ5 왜 대칭 확장은 고오차 QKD 시나리오에서 일방향 후처리가 비밀 키를 생성하는 것을 방해하는가?

주요 결과

• 두 큐비트 상태에 대해 국소 및 전체 밀도 행렬의 스펙트럼이 동일한 것은 순수 대칭 확장을 갖는 데 필수이자 충분한 조건이다.
• 다중 큐비트 벨-대각선 상태에 대한 대칭 확장 문제는 준선형계획문제(SDP)로 재구성할 수 있으며, 이는 효율적인 수치 검증을 가능하게 한다.
• 대칭 확장을 갖는 모든 상태는 순수 대칭 확장을 갖는 상태들의 볼록 조합으로 분해될 수 있다.
• 현재 6상태 프로토콜의 27.6% 오차 기준에서 QKD에서 사용되는 표준 이점 정제 단계는 대칭 확장을 깨뜨리지 못한다.
• 현재의 이점 정제 프로토콜의 일반화된 형태 역시 이 기준에서 대칭 확장을 깨뜨리지 못하며, 이는 이러한 방법으로는 향상이 불가능하다는 것을 의미한다.
• 이는 6상태 프로토콜의 27.6% 기준이 양방향 후처리에서 대칭 확장의 지속성으로 인해 본질적으로 한계를 지닌다는 것을 시사한다.