[논문 리뷰] Symmetric Groups and Expander Graphs

Martin Kassabov|ArXiv.org|2005. 05. 28.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 15인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 대칭군과 교대군에 대해 모든 n에 대해 고정된 차수의 확산 그래프를 형성하는 명시적이고 균일하게 유계인 생성집합을 구성한다. 표현 이론 기법, 특히 카즈단 상수와 상대적 성질 T를 사용하여, 오랫동안 남아있던 대칭군 내 확산 그래프에 대한 열린 문제를 해결하고, 무한군의 성질 T를 유도하지 않은 첫 번째 구성법을 제공한다.

ABSTRACT

We construct explicit generating sets S_n and ilde S_n of the for the alternating and the symmetric groups, which turn the Cayley graphs C(Alt(n), S_n) and C(Sym(n), ilde S_n) into a family of bounded degree expanders for all n. This answers affirmatively an old question which has been asked many times in the literature. These expanders have many applications in the theory of random walks on groups, card shuffling and other areas.

연구 동기 및 목표

• 대칭군과 교대군의 카일리 그래프가 모든 n에 대해 고정된 차수의 확산 그래프 가족을 형성할 수 있는지 여부에 대한 오랜 열린 문제를 해결하기 위해.
• 모든 n에 대해 카일리 그래프가 확산 그래프가 되는, Alt(n)과 Sym(n)에 대한 명시적이고 균일하게 유계인 생성집합을 구성하기 위해.
• 카즈단의 성질 T를 가진 무한군에서 유도되지 않은 새로운 확산 그래프 구성법을 제공하여, 확산 그래프 가족의 이론적 프레임워크를 확장하기 위해.
• 모든 비아벨 유한 단순군이 고정된 생성집합을 가지며, 그로 인해 확산 카일리 그래프를 유도할 수 있다는 추측을 뒷받침하기 위해.

제안 방법

• 균일한 스펙트럼 갭과 균일하게 유계인 카즈단 상수 사이의 동치성을 이용하여 확산성을 확립한다.
• 소규모 군의 유계 생성과 상대적 카즈단 상수를 적용하여 대칭군의 카즈단 상수에 대한 하한을 유도한다.
• 대칭군에서의 랜덤 워크에 대한 특성 상한과 혼합 시간 추정을 활용하여 스펙트럼 갭을 제어한다.
• 행렬군의 곱, 특히 SL₃ₛ(𝔽₂)를 사용하여 벡터 공간에 작용함으로써 큰 교대군을 생성하는 생성집합을 구성한다.
• 군 Δ(H)를 통한 지그재그 곱 유사 구성법을 활용하여 교대군의 곱으로부터 확산 그래프를 구축한다.
• Δ(SL₃ₛ(𝔽₂))의 무한곱의 프로-피니트 완비화를 이용하여 성질 τ를 가진 밀도가 높은 부분군의 존재를 보이며, 이는 균일한 확산을 암시한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 n에 대해 균일하게 유계인 생성집합을 사용하여 대칭군과 교대군의 카일리 그래프를 고정 차수의 확산 그래프 가족으로 만들 수 있는가?
• RQ2 카즈단의 성질 T를 가진 무한군에 의존하지 않고 이러한 확산 그래프를 구성하는 것이 가능한가?
• RQ3 n이 증가함에 따라 적절한 생성집합 하에서 대칭군의 카즈단 상수가 여전히 균일하게 유계로 유지되는가?
• RQ4 모든 비아벨 유한 단순군이 고정된 생성집합을 가지며, 그로 인해 확산 카일리 그래프를 유도할 수 있다는 루보츠키 추측이 교대군에 대해 검증될 수 있는가?
• RQ5 상대적 성질 T와 유계 생성은 대칭군에서 균일한 스펙트럼 갭을 확립하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 논문은 모든 n에 대해 카일리 그래프가 ε-확산 그래프이며, 균일하게 유계된 차수를 가지는 명시적 생성집합 Sₙ과 Šₙ을 Alt(n)과 Sym(n)에 대해 구성한다.
• 이 생성집합에 대한 카즈단 상수는 양의 보편 상수 ε > 0 이상으로 균일하게 유계되어 있으며, 이는 균일한 스펙트럼 확장을 보장한다.
• 이 구성법은 성질 T를 가진 무한군에 의존하지 않아, 새로운 독립적인 확산 그래프 가족의 근원을 제공한다.
• 이 방법은 무한히 많은 교대군의 곱에서, ℤ로의 사상이 존재하지 않으며 성질 τ를 가진 밀도가 높은 부분군의 존재를 보여주며, 이는 프로-피니트 군 이론에서의 새로운 결과이다.
• d = 4 또는 d = 5일 때, Alt(N)에서 생성자 d-튜플에 대한 랜덤 워크는 로그 시간 내에 혼합되며, 이는 카드 셔플링 및 관련 과정의 빠른 혼합을 암시한다.
• 이 구성법은 리 유형의 다른 유한 단순군 가족으로 일반화될 수 있으며, 모든 비아벨 유한 단순군에서 균일한 확장을 보장하는 루보츠키 추측의 광범위한 지지가 된다.