[논문 리뷰] Symmetric measures of pseudorandomness for binary sequences

Yixin Ren, Arne Winterhof|arXiv (Cornell University)|2026. 03. 24.

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한 줄 요약

논문은 이진 수열에 대해 두 가지 고전적인 의사 난수성 척도(2-adic 및 linear complexity)의 대칭 버전과 일반 버전을 비교하여 대칭이 여러 설정에서 지표를 감소시킬 수 있음을 보여주고 경계 및 불변성 결과를 제공합니다.

ABSTRACT

We compare ordinary and symmetric variants of two classical measures of pseudorandomness for binary sequences, the $2$-adic complexity and the linear complexity. In the periodic setting, we show that for binary periodic sequences constructed from the binary expansions of non-palindromic primes, the symmetric $2$-adic complexity can be strictly smaller than the ordinary $2$-adic complexity. We also give a direct proof (of the known result) that the linear complexity of a periodic binary sequence is invariant under reversal, and hence coincides with its symmetric version. In the aperiodic setting, we provide explicit families of finite binary sequences for which both the $N$th symmetric 2-adic complexity and the $N$th symmetric linear complexity are substantially smaller than their ordinary counterparts. Furthermore, we show that the expected values of the $N$th rational complexity and of the $N$th exponential linear complexity exceed those of their symmetric analogues by at least a term of order of magnitude $N$. Thus, the effect of symmetrization is clearly visible on an exponential scale. We also establish lower bounds for the expected values of the symmetric rational complexity, symmetric $2$-adic complexity, symmetric linear complexity, and symmetric exponential linear complexity.

연구 동기 및 목표

• 대칭화가 이진 수열에 대해 잘 알려진 의사 난수성 척도에 어떤 영향을 미치는지 이해를 자극한다.
• 대칭 2-adic 및 대칭 선형 복잡도에 대해 주기적 및 비주기적 설정을 조사한다.
• 대칭 및 일반 측정값을 비교하는 명시적 구성 및 이론적 결과를 제공한다.
• 대칭 복잡도 측정값의 불변성 속성과 하한을 확립한다.

제안 방법

• 이진 수열에 대한 대칭 버전과 일반 버전의 2-adic 복잡도 및 선형 복잡도를 비교한다.
• 주기적 설정에서 비회문 소수의 이진 전개로부터 얻은 수열을 분석하여 대칭 2-adic 복잡도와 일반 2-adic 복잡도를 비교한다.
• 주기적 이진 수열의 선형 복잡도가 반전하에서도 불변하며 따라서 대칭 버전과 동일하다는 것을 증명한다.
• 비주기적 설정에서 대칭 2-adic 및 대칭 선형 복잡도가 일반 버전보다 상당히 작다는 명시적 유한 이진 수열을 구성한다.
• 대칭 및 일반 합리적(symmetric rational) 및 지수적(linear) 복잡도의 기대값을 도출하고 대칭 버전에 대해 하한을 제시한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주기적 설정에서 이진 수열의 대칭 버전이 일반 버전에 비해 2-adic 및 선형 복잡도에서 어떻게 비교되는가?
• RQ2 반전하에서의 선형 복잡도 같은 알려진 불변성 속성이 대칭 버전으로 확장되는가?
• RQ3 비주기적 설정에서 대칭 복잡도가 일반 복잡도보다 여전히 훨씬 작은가, 얼마나 차이가 큰가?
• RQ4 대칭 및 일반 합리적, 지수적 및 선형 복잡도의 점근적 또는 기대 값 관계는 어떤가?
• RQ5 이들 측정의 대칭 버전에 대해 어떤 하한을 확립할 수 있는가?

주요 결과

• 대칭 2-adic 복잡도는 비회문 소수로부터 구성된 이진 주기적 수열에서 일반 2-adic 복잡도보다 엄격하게 작아질 수 있다.
• 주기적 이진 수열의 선형 복잡도는 반전하에서 불변하며 따라서 대칭 버전과 동등하다.
• 비주기적 설정에서 N번째 대칭 2-adic 및 N번째 대칭 선형 복잡도가 일반 대응보다 상당히 작다는 명시적 유한 이진 수열이 존재한다.
• N번째 합리적 복잡도와 N번째 지수적 선형 복잡도의 기댓값은 대칭 버전보다 최소하게도 N의 차수의 항으로 더 크며, 지수적 규모에서의 대칭 이점이 크다는 것을 나타낸다.
• 대칭 합리적, 대칭 2-adic, 대칭 선형, 대칭 지수 선형 복잡도에 대한 기댓값에 대한 하한이 확립된다.