[논문 리뷰] Symmetric Orbifolds and Entanglement Entropy for Primary Excitations in Two Dimensional CFT

Amir Esmaeil Mosaffa|arXiv (Cornell University)|2012. 08. 15.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 18인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 대칭 오르비폴딩 기법을 사용하여 1차원 원소에 의해 자극된 2차원 CFT에서의 엔트레일먼트 엔트로피(EE)를 계산한다. $S_n$-트리거 필드를 통해 복제 기법을 커버링 공간으로 매핑함으로써, 레이니 엔트로피를 $2n$-점 함수로 표현하는 폐쇄형 표현식을 유도하며, $n \to 1$ 근처에서 EE를 도출하고, 작은 각도 근사에서 이전 결과와의 일치를 확인한다.

ABSTRACT

We use the techniques in symmetric orbifolding to calculate the Entanglement Entropy of a single interval in a two dimensional conformal field theory on a circle which is excited to a pure highest weight state. This is achieved by calculating the Reney Entropy which is found in terms of a 2n-point function of primary operators, n being the replica number.

연구 동기 및 목표

• 2차원 등각장이론(CFT)에서 1개의 구간에 대한 엔트레일먼트 엔트로피(EE)를 1차원 원소에 의해 자극된 상태에서 계산하는 것.
• 이전에 진동 상태에서 사용된 대칭 오르비폴딩 기법을 최고 무게를 가진 1차원 원소를 가진 순수 자극 상태로 확장하는 것.
• 커버링 공간에서의 트리거 연산자들을 사용한 레이니 엔트로피의 장 이론적 유도를 통해 헬로그래픽 해석을 가능하게 하는 것.
• 작은 각도($\theta \ll 2\pi$) 근사에서 Alcaraz 등과 Berganza 등이 이전에 구한 결과와의 일致를 확립하는 것.
• 헬로그래픽 이중성 기반의 자극 상태 CFT에서의 EE에 대한 블록 장 구성에 기초한 기초를 마련하는 것.

제안 방법

• 레이니 엔트로피 $S_A^{(n)} = \frac{1}{1-n} \ln \text{Tr}(\rho_A^n)$를 계산하기 위해 복제 기법을 적용하여, 문제를 커버링 공간에서의 1차원 원소 연산자들의 $2n$-점 함수로 매핑한다.
• 복제 다양체 $\mathcal{R}_n$의 특이 기하학을 해결하기 위해 대칭 오르비폴딩을 사용하며, 대상 공간 장들을 $n$개의 복제로 복제하고, 트리거 연산자를 통해 $S_n$-트리거 경계 조건을 강제한다.
• 원래의 $t$-평면에서 커버링 공간 $\mathcal{M}_C$로의 좌표 변환을 구성하여 분지점들을 매끄럽게 하고, 경로 적분을 매끄러운 다양체에서 계산할 수 있도록 한다.
• $\langle \prod_{k=0}^{n-1} \mathcal{O}(t_k) \tilde{\mathcal{O}}(t_k') \rangle_t$의 $2n$-점 함수를 1차원 원소의 등각 차원 $h, \bar{h}$와 OPE 계수에 따라 평가한다.
• 레이니 엔트로피를 $\mathcal{F}^{(n)}_{\mathcal{O}}(\theta) = \left( \delta^n \frac{2^{n-1}}{\hat{\delta}} \frac{\sin^{n-1}(\theta/2)}{n^{n+1}} \right)^{2(h+\bar{h})} \times \frac{\langle \prod \mathcal{O}(t_k) \tilde{\mathcal{O}}(t_k') \rangle_t}{\langle \mathcal{O}(0) \tilde{\mathcal{O}}(\infty) \rangle_z^n}$로 유도하며, 일반적인 $n$에 대해 유효하다.
• 엔트레일먼트 엔트로피를 추출하기 위해 $n \to 1$ 근처로의 극한을 취한다: $S_{\mathcal{O}}(\theta) = S_{GS}(\theta) - \partial_n \mathcal{F}^{(n)}_{\mathcal{O}}(\theta) \big|_{n=1}$, 여기서 $\text{Tr}\, \rho_{\mathcal{O}}(\theta) = 1$.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2차원 CFT에서 1개의 구간에 대한 엔트레일먼트 엔트로피는 1차원 원소에 의해 자극되었을 때 어떻게 변화하는가?
• RQ2 이전에 진동 상태에서 사용된 대칭 오르비폴딩 기법을 자극된 순수 상태에서의 레이니 및 엔트레일먼트 엔트로피 계산으로 일반화할 수 있는가?
• RQ3 트리거 필드와 1차원 원소의 $2n$-점 함수로 표현된 레이니 엔트로피의 정확한 장 이론적 표현식은 무엇인가?
• RQ4 결과로 도출된 레이니 엔트로피는 작은 각도 근사($\theta \ll 2\pi$)에서 어떻게 행동하며, 다른 방법으로 이전에 알려진 결과와 일치하는가?
• RQ5 특히 자극 상태에 대응하는 블록 기하학과 이중 장에 대해, 장 이론적 결과의 헬로그래픽 해석은 무엇인가?

주요 결과

• 1차원 원소에 의해 자극된 2차원 CFT에서의 단일 구간에 대한 레이니 엔트로피는 커버링 공간에서의 $2n$-점 함수로 유도되며, 결과는 $\mathcal{F}^{(n)}_{\mathcal{O}}(\theta) = \left( \delta^n \frac{2^{n-1}}{\hat{\delta}} \frac{\sin^{n-1}(\theta/2)}{n^{n+1}} \right)^{2(h+\bar{h})} \times \frac{\langle \prod_{k=0}^{n-1} \mathcal{O}(t_k) \tilde{\mathcal{O}}(t_k') \rangle_t}{\langle \mathcal{O}(0) \tilde{\mathcal{O}}(\infty) \rangle_z^n}$이다.
• 작은 각도 근사($\theta \ll 2\pi$)에서, 레이니 엔트로피는 $\mathcal{F}^{(n)}_{\mathcal{O}}(\theta) = 1 + \frac{h+\bar{h}}{3}\left(\frac{1}{n} - n\right)\left(\frac{\theta}{2}\right)^2 + O(\theta^{\Delta+\bar{\Delta}})$로 단순화되며, Alcaraz 등(2011)의 결과와 일치한다.
• 엔트레일먼트 엔트로피는 $S_{\mathcal{O}}(\theta) = S_{GS}(\theta) - \partial_n \mathcal{F}^{(n)}_{\mathcal{O}}(\theta) \big|_{n=1}$로 도출되며, $\text{Tr}\, \rho_{\mathcal{O}}(\theta) = 1$를 만족하여 자극 상태가 기본 상태 EE에 보정 항을 기여한다는 것을 보여준다.
• 결과는 $s$-매핑을 통해 원통 좌표계로 재표현되어 $\mathcal{F}^{(n)}_{\mathcal{O}}(\theta) = n^{-2n(h+\bar{h})} \frac{\langle \prod_{k=0}^{n-1} \mathcal{O}(\frac{\theta+2\pi k}{n}) \tilde{\mathcal{O}}(\frac{2\pi k}{n}) \rangle_{cy}}{\langle \mathcal{O}(\theta) \tilde{\mathcal{O}}(0) \rangle_{cy}^n}$로 표현되며, Alcaraz와 Berganza의 결과와 일致함을 확인한다.
• 이 방법은 자극 상태 EE의 헬로그래픽 이중성에 대한 장 이론적 프레임워크를 제공하며, AdS 내의 블록 장이 CFT의 1차원 원소 상태 자극에 대응한다는 것을 시사한다.
• 대칭 오르비폴딩 기법은 자극 상태로 성공적으로 일반화되었으며, 비기본 상태에서의 EE 계산을 위한 새로운 길을 열어주며, 향후 블록 기하학 이중성의 탐색을 가능하게 한다.