[논문 리뷰] Symmetric product as moduli space of linear representations

Francesco Vaccarino|ArXiv.org|2006. 08. 26.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 9인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 특성 0 체 위의 아핀 스킴 $X = \mathrm{Spec}\,A$ 의 $n$-번째 대칭 곱이 $A$ 의 $n$-차원 선형 표현을 매개변수화하는 스킴의 일반선형군 $GL(n,F)$ 에 의한 몫과 스킴으로서 동형임을 확립한다. 핵심 결과는 대칭 곱을 묘사하는 호환환 $(A^{\bigotimes n})^{S_n}$ 가 일반 행렬의 단항식의 추적들에 의해 생성되며, Procesi의 중심 다항식에 의해 규정되는 관계를 가진다는 것이다. 이는 고전적인 대칭다항식과 행렬 불변량 이론을 일반화한다.

ABSTRACT

We show that the $n-$th symmetric product of an affine scheme $X=\mathrm{Spec} A$ over a characteristic zero field is isomorphic as a scheme to the quotient by the general linear group of the scheme parameterizing $n-$dimensional linear representations of $A$. As a consequence we give generators and relations of the related rings of invariants as well as the equations of any symmetric products in term of traces. In positive characteristic we prove an analogous result for the associated varieties.

연구 동기 및 목표

• 아핀 스킴 $X = \mathrm{Spec}\,A$ 의 대칭 곱 $X^{(n)}$ 과 기저 변경에 의한 표현 스킴의 몫 $\mathcal{R}_n(A)//GL(n,F)$ 사이의 기하적 동형사상 수립
• 호환환 $(A^{\otimes n})^{S_n}$ 의 명시적 생성자와 관계 제공; 이를 일반 행렬의 단항식의 추적과 동일시함
• 특성 0 에서 $F[Mat(n,F)]^{GL(n,F)} \cong F[y_1,\dots,y_n]^{S_n}$ 라는 고전적 결과를 $F[x]$ 에서 임의의 가환 $F$-대수 $A$ 로 일반화
• 양의 특성에서 관련 다양체에 대해 유사 결과를 증명하며, 감소된 스킴과 담근 아이디얼을 사용함
• 이전 결과를 일반화하는 추적 항등식과 다항식 관계를 통한 대칭 곱의 통일된 묘사 제공

제안 방법

• 점의 함의를 사용하여 표현 스킴 $\mathcal{R}_n(A)$ 를 $\mathrm{Spec}\,V_n(A)$ 로 정의함. 여기서 $V_n(A)$ 는 $A$ 의 $n$-차원 표현의 호환환임
• 자유 대수 $F\{x_\omega\}$ 의 유일한 $n$-차원 표현을 나타내기 위해 일반 행렬 $\xi_{\omega} \in Mat(n, F[\xi_{ij,\omega}])$ 을 구성하고, $A$ 의 관계에 대응하는 이상 $I$ 로 나누어짐
• 특히 행렬식과 그 완전한 극화 $\Psi_{\mathbf{1}_n}$ 에 초점을 맞춘 동차 다항법칙의 분할 과정을 적용하여, 불변량을 추적으로 표현함
• Procesi의 중심 다항식 이론과 $T$-이deals 를 이용하여, 일반 행렬의 단항식 추적 간의 모든 관계가 특성 0 에서 $\Psi_{\mathbf{1}_{n+1}}$ 에 의해 생성됨을 보임
• 양의 특성에서는 감소된 스킴 $\mathcal{R}_{n,\text{red}}(A)$ 를 고려하고, 동시에 상삼각화와 대각선 행렬로의 환원을 통해 $TS^n_{F}(A)_{\text{red}} \cong V_n(A)^{G}_{\text{red}}$ 를 증명함
• 뉴턴 항등식을 사용하여 고유값의 초등 대칭함수와 행렬의 거듭제곱의 추적 간의 관계를 설정함으로써, 불변환의 추적 기반 표현 가능함을 확보함

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특성 0 체 $F$ 에서 아핀 스킴 $X = \mathrm{Spec}\,A$ 의 대칭 곱 $X^{(n)}$ 이 기저 변경에 의한 $A$ 의 $n$-차원 선형 표현의 군집 모듈리 공간과 스킴으로 동형인가?
• RQ2 호환환 $(A^{\otimes n})^{S_n}$ 이 일반 $n \times n$ 행렬의 단항식의 추적들만으로 표현될 수 있으며, 그 정의 관계는 무엇인가?
• RQ3 고전적 동형사상 $F[Mat(n,F)]^{GL(n,F)} \cong F[y_1,\dots,y_n]^{S_n}$ 이 $F[x]$ 에서 임의의 가환 $F$-대수 $A$ 로 확장되는가?
• RQ4 양의 특성에서 감소된 대칭 곱과 표현 다양체의 $GL(n,F)$ 몫 사이에 유사한 동형사상이 존재하는가?
• RQ5 일반 행렬의 단항식 추적 간의 관계들이 Procesi의 중심 다항식 $\Psi_{\mathbf{1}_{n+1}}$ 의 평가와 $A$ 를 정의하는 이상 $I$ 에서 유래된 관계들에 의해 생성되는가?

주요 결과

• 특성 0 체 위에서 스킴으로서 대칭 곱 $X^{(n)} = \mathrm{Spec}\,((A^{\otimes n})^{S_n})$ 는 몫 $\mathcal{R}_n(A)//GL(n,F)$ 와 동형임
• 호환환 $V_n(A)^{GL(n,F)}$ 는 일반 행렬 $\xi_{\omega}$ 의 단항식의 추적들에 의해 생성되며, 관계는 $A$ 의 생성자들에 대한 $\Psi_{\mathbf{1}_{n+1}}$ 의 평가와 $f \in I$ 에 대해 $\mathrm{tr}(\pi_n^A(f))$ 로 생성됨
• 특성 0 에서 $n \times n$ 행렬의 단항식 추적 간의 모든 다항식 관계는 Procesi와 Razmyslov에 의해 확립된 $\Psi_{\mathbf{1}_{n+1}}$ 의 결과임
• 양의 특성에서는 감소된 스킴 $TS^n_F(A)_{\text{red}}$ 가 동시에 상삼각화와 대각선 행렬로의 환원을 통해 몫 $\mathcal{R}_{n,\text{red}}(A)//GL(n,F)$ 와 동형임
• $(A^{\otimes n})^{S_n}$ 의 다항식환의 추적에 대한 몫으로서의 표현은 임의의 가환 기저환 $F$ 위에서 평탄한 $A$ 에 대해 유효하며, 이는 이전 결과를 일반화함
• 특히 평탄한 경우에 대칭 곱 $X^{(n)}$ 의 방정식은 추적과 특성다항식의 계수들로 명시적으로 묘사됨