[논문 리뷰] Symmetries and gauge symmetries in multisymplectic first and second-order Lagrangian field theories: electromagnetic and gravitational fields

Jordi Gaset, Narciso Román‐Roy|arXiv (Cornell University)|2021. 07. 19.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 30인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 제1 및 제2차 다중심플렉틱 라그랑주 장 이론에서 대칭성과 게이지 대칭성을 기하학적으로 분석하며, 노에터 유형 정리들을 사용하여 보존량을 유도한다. 이 이론적 프레임워크는 양자전기역학과 일반상대성 이론(Einstein–Hilbert 및 Einstein–Palatini 모델)에 적용되며, 게이지 대칭성의 기하학적 역할을 프리심플렉틱 형식의 핵에 속하는 수직 벡터장들을 통해 명확히 하고, 장 이론에서의 게이지 축소를 위한 기초를 마련한다.

ABSTRACT

Symmetries and, in particular, Cartan (Noether) symmetries and conserved quantities (conservation laws) are studied for the multisymplectic formulation of first and second order Lagrangian classical field theories. Noether-type theorems are stated in this geometric framework. The concept of gauge symmetry and its geometrical meaning are also discussed in this formulation. The results are applied to study Noether and gauge symmetries for the multisymplectic description of the electromagnetic and the gravitational theory; in particular, the Einstein--Hilbert and the Einstein--Palatini approaches.

연구 동기 및 목표

• 제1 및 제2차 다중심플렉틱 라그랑주 장 이론에서 대칭성과 보존 법칙의 엄밀한 기하학적 특성화를 제공하는 것.
• 특히 프리심플렉틱 형식의 핵에 속하는 수직 벡터장으로서의 무한소 생성자로서의 게이지 대칭성의 기하학적 의미를 명확히 하는 것.
• 기본적인 고전적 장 이론인 전자기학과 일반상대성 이론(Einstein–Hilbert 및 Einstein–Palatini 작용)에 이 형식을 적용하는 것.
• 다중심플렉틱 설정에서의 게이지 등가성과 게이지 축소를 위한 일관된 프레임워크를 수립하는 것.
• 예비심플렉틱 역학의 통찰을, 특이 라그랑주 함수를 가진 고차수, 장이론적 시스템으로 확장하는 것.

제안 방법

• 1차 또는 2차 라그랑주 함수를 가진 장 이론을 기술하기 위해 고차 수준 다중집합과 다중심플렉틱 기하학에 기반한 형식론.
• 벡터장에 의한 다중심플렉틱 형식의 역상에 대한 불변성으로 정의된 카르탕(노에터) 대칭성의 사용.
• 다중심플렉틱 프레임워크 내에서 노에터 정리를 통해 보존류를 유도하며, 특정 닫힘 조건과 보존 조건을 만족하는 (n−1)-형식으로 표현.
• 특이 라그랑주 함수와 관련된 프리심플렉틱 푸앵카레 형식의 핵에 속하는 수직 벡터장들을 통해 게이지 대칭성을 식별.
• 전자기장 라그랑주 함수와 일반상대성 이론에서의 힐베르트–아인스타인 및 아인스타인–팔라틴 행동에 이 형식을 적용.
• 장 방정식과 대칭성에 의해 생성된 보존류를 분석하기 위해 제트 연장과 카르탕 형식의 사용; 제1 및 제2차 이론 모두에 적용.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다중심플렉틱 제1 및 제2차 장 이론에서 노에터 대칭성과 관련된 보존 법칙은 어떻게 기하학적으로 특성화되는가?
• RQ2 특이 라그랑주 함수와 프리심플렉틱 형식의 맥락에서 게이지 대칭성의 정확한 기하학적 역할은 무엇인가?
• RQ3 아인스타인–힐베르트 및 아인스타인–팔라틴 일반상대성 이론의 해석은 다중심플렉틱 프레임워크에서 노에터 대칭성과 게이지 대칭성을 어떻게 나타내는가?
• RQ4 다중심플렉틱 장 이론에서 게이지 등가 해와 푸앵카레 형식의 핵 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 기계적 예비심플렉틱 시스템에서의 게이지 대칭성 기하학적 구조를 장이론적 다중심플렉틱 시스템으로 체계적으로 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 다중심플렉틱 프레임워크에서의 노에터 대칭성은 제트 연장된 벡터장에 의한 다중심플렉틱 형식의 불변성으로 특성화되며, 이는 (n−1)-형식으로서의 보존류를 이끈다.
• 전자기장의 경우, 게이지 대칭성은 프리심플렉틱 형식의 핵에 속하는 수직 벡터장으로 기하학적으로 실현되며, 표준적인 U(1) 게이지 자유도와 일치한다.
• 제2차 이론인 아인스타인–힐베르트 작용에서는 게이지 대칭성이 푸앵카레 형식의 핵에 속하는 제트 연장된 벡터장에 의해 생성되는 미분형식의 변환으로 나타난다.
• 제1차 이론인 아인스타인–팔라틴 모델에서는 유사하게, 수직 벡터장이 핵에 속해 있음으로써 게이지 대칭성이 특성화되며, 이는 독립된 메트릭과 접속 변수를 반영한다.
• 대칭 벡터장 Y에 의해 생성되는 보존류는 ξ_Y = i(j¹Y)Θ_L로 주어지며, 이는 'on-shell'에서 닫힌 형식으로 줄어들어 보존 법칙을 이끈다.
• 논문은 게이지 등가 해가 이러한 핵에 속하는 벡터장에 의해 생성된 변환으로 연결되어 있으며, 게이지 축소가 게이지 군 작용에 대한 몫을 취하는 방식으로 체계적으로 수행될 수 있음을 수립한다.