[논문 리뷰] Symmetries and invariance properties of stochastic differential equations driven by semimartingales with jumps

Sergio Albeverio, Francesco C. De Vecchi외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 05.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 25인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 점프를 동반한 일반적인 càdlàg 세미마르팅게일에 의해 구동되는 확률미분방정식(SDEs)에 대한 게이지 대칭성과 시간 대칭성을 도입하며, 비마르코프 및 점프-확산 설정으로 일반화된 리 대칭 분석을 제공한다. 이러한 대칭성은 변환군을 통해 SDE의 축소를 가능하게 하며, 명시적 해와 불변성 결과를 도출하며, 특히 애फ린 타입의 동역학 하에서 CIR 및 베ssel 과정의 일반화를 포함한다.

ABSTRACT

Stochastic symmetries and related invariance properties of finite dimensional SDEs driven by general càdlàg semimartingales taking values in Lie groups are defined and investigated. In order to enlarge the class of possible symmetries of SDEs, the new concepts of gauge and time symmetries for semimartingales on Lie groups are introduced. Markovian and non-Markovian examples of gauge and time symmetric processes are provided. The considered set of SDEs includes affine and Marcus type SDEs as well as smooth SDEs driven by Lévy processes. Non trivial invariance results concerning a class of iterated random maps are obtained as special cases.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 점프를 동반한 세미마르팅게일에 의해 구동되는 SDE에 대한 리 대칭 분석을 확장함으로써, 비마르코프 및 애프린 타입의 과정을 포함한다.
• 세미마르팅게일에 대해 특별히 설계된 리 군 위에서의 게이지 대칭성과 시간 대칭성이라는 새로운 대칭 개념을 정의한다.
• 해의 집합이 군 작용 하에 불변하도록 하는 SDE의 변환 프레임워크를 구축한다.
• 대칭성에 대한 결정 방정식을 유도하고, 이를 통해 명시적 해와 불변성 결과를 도출한다.
• 반복적인 랜덤 맵과 베assel 및 CIR 타입 확산과 같은 고전적 과정에 대해 이 방법을 적용한다.

제안 방법

• 해(X, W)와 노이즈(Z₁, Z₂)에 작용하는 변환 삼중체(Φ, B, τ)를 도입하여 SDE의 구조를 유지한다.
• 특히 행렬 값 및 덧셈형 점프에 대해, 노이즈 성분(Z₁, Z₂)에 대한 직교군 작용 Ξ_B를 통한 게이지 대칭성을 정의한다.
• 이토 미적분과 이차변동을 사용하여 변환된 SDE를 유도하며, 특히 2차원 경우의 반경 과정 R_t에 초점을 맞춘다.
• 군 작용 하에서 SDE의 해 집합이 불변이 되도록 요구함으로써 대칭성에 대한 결정 방정식을 도출한다.
• 적절한 대칭군을 이용하여 SDE의 축소를 수행하며, 이는 ODE에서의 적분 기반 축소와 유사하다.
• 노이즈 측도에 대해 pushforward 조건 Ξ_B∗(ν) = ν 를 요구함으로써 불변 조건을 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 세미마르팅게일에 의해 구동되는 SDE에 대해 리 대칭 개념을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 어떤 조건에서 변환군이 점프-확산 SDE의 해 집합을 유지하는가?
• RQ3 게이지 대칭성과 시간 대칭성을 이용하여 SDE의 차원을 축소하고 명시적 해를 도출할 수 있는가?
• RQ4 점프가 존재하는 상황에서 대칭성은 알려진 과정들, 예를 들어 베assel 과정과 CIR 과정과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 게이지 변환 하에서의 불변성을 특징짓는 데 특징적인 삼중조합(b, A, ν)의 역할은 무엇인가?

주요 결과

• 이 논문은 일반적인 세미마르팅게일에 의해 구동되는 리 군 위의 SDE에 대해 게이지 대칭성과 시간 대칭성을 도입하며, 고전적 대칭 분석을 비마르코프 및 점프-확산 설정으로 일반화한다.
• 반경 과정 R_t는 일반화된 SDE를 만족하며, 노이즈가 브라운 운동이고 Z₁ = I₂일 경우 베assel 과정으로 축소됨을 확인함으로써 회전 대칭성이 확인된다.
• 이산 시간 세미마르팅게일의 경우, O(2) 게이지 대칭성이 성립하는 것은 (K_n, H_n)의 증분 법칙이 직교 공액과 변환에 대해 각각 불변일 때에만 성립한다.
• 대칭군을 통한 SDE의 축소를 통해 명시적 해 공식을 도출할 수 있으며, 이는 ODE에서의 적분 기반 축소와 유사하다.
• 대칭성에 대한 결정 방정식은 일阶 편미분방정식으로 유도되며, 이는 대칭군의 체계적 계산을 가능하게 한다.
• 이 프레임워크는 애프린형 및 마르쿠스 타입 SDE를 일반화하며, Z₁가 결정론적이고 Z₂가 브라운 운동일 경우 반경 방정정식 (48)은 시간에 따라 변화하는 CIR 모델로 축소된다.