[논문 리뷰] Symmetries in Linear and Integer Programs

Katrin Herr, Herr, K.|ArXiv.org|2009. 08. 23.

Optimization and Packing Problems참고 문헌 8인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 대칭성에 기반한 군론적 접근을 제안하여 선형 및 정수계획법 문제의 차원을 대칭성 인식 재구성 기반으로 감소시켜 문제 차원을 축소한다. 대칭군의 고정점 집합 내에 항상 최적해가 존재함을 증명하고, 원래 문제의 저차원 재구성(retract)을 유도하는 알고리즘을 제시함으로써, 궤도 구조에 기반한 차원 감소를 통한 효율적 해법을 가능하게 한다.

ABSTRACT

The notion of symmetry is defined in the context of Linear and Integer Programming. Symmetric linear and integer programs are studied from a group theoretical viewpoint. We show that for any linear program there exists an optimal solution in the fixed point set of its symmetry group. Using this result, we develop an algorithm that allows for reducing the dimension of any linear program having a non-trivial group of symmetries.

연구 동기 및 목표

• 군론을 사용하여 선형 및 정수계획법에서 대칭성의 역할을 체계화하기.
• 분기 및 경계(branch-and-bound) 효율성을 저해하는 중복 탐색 경로로 인해 발생하는 대칭적 정수계획법의 계산적 과제를 해결하기.
• 특정 최적화 히وري스틱스에 의존하지 않는 일반적이고 대수적 방법을 개발하여 대칭성 감소를 실현하기.
• 대칭적 선형계획법의 최적해가 그 대칭군의 고정점 집합 내에 존재함을 보여주기.
• 궤도 구조를 활용하여 대칭적 선형계획법의 차원을 감소시키는 사전처리 알고리즘 제공하기.

제안 방법

• 선형계획법의 대칭성을 제약행렬과 목적함수벡터를 유지하는 변수의 순열로 정의한다.
• 변수 인덱스에 작용하는 대칭군을 대칭군의 부분군으로 체계화한다.
• 궤도 대표원을 기반으로 유도된 행렬 $ M_r $ 를 사용해 대칭군의 고정점 공간에 원래 문제를 투영함으로써 재구성(retract)을 구성한다.
• 궤도-안정자 정리(orbit-stabilizer theorem)를 사용해 궤도의 수를 결정하고, 이는 감소된 문제의 차원을 결정한다.
• 원래 선형계획법의 최적해가 저차원 재구성 문제의 해로부터 행렬 $ M_r $ 을 통해 복원될 수 있음을 증명한다.
• 감소된 문제에 추가로 대칭성이 존재할 경우, 알고리즘을 반복 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비어 있지 않은 대칭군을 가진 선형계획법에서 최적해가 변경되지 않도록 문제 차원을 체계적으로 감소시킬 수 있는가?
• RQ2 모든 대칭적 선형계획법이 그 전체 대칭군에 대해 불변인 최적해를 갖는가?
• RQ3 특정 최적화 히وري스틱스에 의존하지 않는 일반적이고 대수적 방법을 개발해 대칭적 선형계획법을 감소시킬 수 있는가?
• RQ4 대칭군의 궤도 수가 감소된 문제의 차원과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 대칭성 감소 기법을 반복적으로 적용해 대칭적 정수계획법을 더 이상 단순화시킬 수 있는 정도는 어느 정도인가?

주요 결과

• 비어 있지 않은 대칭군을 가진 모든 선형계획법은 그 군의 고정점 집합 내에 최적해를 갖는다.
• 감소된 문제의 차원은 군의 내부 구조와는 무관하게 궤도의 수에 의해 결정된다.
• 행렬 $ M_r $ 을 사용해 저차원 재구성 문제의 해로부터 원래 선형계획법의 최적해를 복원할 수 있으며, 이는 궤도 대표원을 원래 변수에 매핑한다.
• 알고리즘은 원래 문제를 대칭성에 기반한 감소된 형태로 대체함으로써 차원 감소를 달성하며, 최적성은 유지된다.
• 이 방법은 일반적이며 사전처리 중심이며, 비어 있지 않은 대칭성을 가진 임의의 선형계획법에 적용 가능하며, 분기 및 경계 히وري스틱스에 의존하지 않는다.
• 감소 후에도 여전히 대칭성이 존재할 수 있으므로, 추가 단순화를 위해 알고리즘을 반복 적용할 수 있다.