[논문 리뷰] Symmetries of categorical representations and the quantum Ngô action

Dani Ben‐Zvi, Sam Gunningham|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 05.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 56인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 재수정된 리 대수에서 정규 중심자군의 군 스킴에 기반한 고전적 Ngô 작용의 보편 양자화를 구축함으로써, Whittaker 범주에서 임의의 G-등변 D-모듈의 중심으로 가는 브레이드된 텐서 함자를 (양자 Ngô 사상) 정의함으로써 수행된다. 핵심 결과는 중심 작용을 통한 G-불변 연산자들의 카테고리적 가족을 제공함으로써 양자 통합계, 문자 셰이브, 그리고 문자 다양체의 코homology에서 새로운 대칭성을 이끌어낸다.

ABSTRACT

We observe that all classical Hamiltonian systems coming from the invariant polynomials on a reductive Lie algebra g can be integrated in a universal way. This is a consequence of Ngô's action of the group scheme J of regular centralizers in G on all centralizers: the Hamiltonian flows associated to invariant polynomials integrate to an action of J as commutative symplectic groupoid. We quantize the Ngô action, providing a universal integration for all quantum Hamiltonian systems coming from the center Z=Z(Ug) of the enveloping algebra. Namely we extend Kostant's Whittaker description of Z to the action of a commutative quantum groupoid Wh, the bi-Whittaker Hamiltonian reduction of $D_G$, which also integrates all quantum Hamiltonian systems coming from the action of Z. These actions come from a braided tensor functor, the quantum Ngô map, from the W-category (modules for Wh) to adjoint-equivariant D-modules on G, giving a categorical family of G-invariant commuting operators on any strong G-category. This action also leads to a notion of Langlands parameters for categorical representations of G, refined central character for character sheaves, and a new symmetry of homology of character varieties. We derive our construction as the Langlands dual form of a simple symmetry principle for groupoids. Namely the symmetric monoidal category of equivariant sheaves (modules for the groupoid algebra) acts centrally on the corresponding convolution category. In particular modules for the nil-Hecke algebra for any Kac-Moody group act centrally on the corresponding Iwahori-Hecke category. We deduce both the Ngô action and its quantization from the case of the Langlands dual equivariant affine Grassmannian using the renormalized Geometric Satake theorem of Bezrukavnikov-Finkelberg.

연구 동기 및 목표

• universal enveloping algebra 𝔘𝔤의 중심과 관련된 고전적 해밀토니안 시스템의 보편 양자화를 제공하기 위해.
• 양자 Ngô 사상으로서 브레이드된 텐서 함자를 사용하여 G-불변 연산자에 대한 카테고리적 프레임워크를 구축하기 위해.
• 이중 Whittaker 해밀토니안 축소와 nil-DAHA를 통해 고전적 Ngô 작용을 양자적 맥락으로 확장하기 위해.
• 카테고리적 표현과 문자 셰이브를 위한 Langlands 매개변수와 정밀화된 중심 문자를 정의하기 위해.
• 표면의 문자 다양체의 호모로지에서 새로운 가환 대칭을 밝혀내기 위해 양자 작용을 통해.

제안 방법

• Langlands 쌍대군 G∨의 아핀 그라스만리에서의 등변 셰이브의 범주와 G의 W-범주를 식별하기 위해 재정규화된 기하학적 사타케 정리를 활용한다.
• Whittaker 범주 ℂWh에서 D(G//ad G)의 컨볼루션 범주의 중심으로 가는 브레이드된 모나이드 함수로서의 양자 Ngô 사상을 구성한다.
• D-모듈 대수 DG의 이중 Whittaker 축소를 통해 양자 코스타ント 슬라이스를 실현함으로써, 가환 양자 군oids ℚWh를 도출한다.
• 등변 셰이브의 대칭 텐서 구조를 활용하여, 코커뮤타티브 호프 앨리드로이드의 구조를 통해 컨볼루션 범주에 중심 작용을 정의한다.
• 양자 맥락에서 코homological 그레ading과 변형을 다루기 위해 인드-홀로노믹 D-모듈과 필터링된 D-모듈의 체계를 적용한다.
• 호로사이클 변환과 평행 유도/제한을 사용하여 Whittaker 범주와 구면 헤이크 범주 사이의 관계를 설정하고, 국소화 이후 모리타 동치를 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 Ngô 작용이 중심자군에 대해 어떻게 보편적으로 양자화되어, 양자 해밀토니안 시스템을 이끌 수 있는가?
• RQ2 G-불변 D-모듈 위에 작용하는 양자 군oids ℚWh의 배경이 되는 카테고리적 구조는 무엇인가?
• RQ3 양자 Ngô 사상은 기하학적 표현 이론에서 어떻게 G-불변 연산자들의 보편적 가족을 제공하는가?
• RQ4 양자 작용은 카테고리적 표현에 대해 Langlands 매개변수의 개념을 어떻게 정밀화하는가?
• RQ5 표면의 문자 다양체의 코homology에서 양자 Ngô 작용은 어떤 새로운 대칭을 유도하는가?

주요 결과

• 양자 Ngô 사상은 Whittaker 범주 ℂWh에서 D(G//ad G)의 컨볼루션 범주의 드리닐트 중심으로 가는 브레이드된 텐서 함수로서 실현되며, 양자 통합성에 대한 보편적 메커니즘을 제공한다.
• 양자 군oids ℚWh의 작용은 코스타ント의 중심 𝔻𝔤에 대한 Whittaker 묘사를 통합하여, 가환 양자 군oids로 일반화되며, 고전적 Ngô 작용을 일반화한다.
• 이 구성은 W-범주의 중심 작용을 통해 어떤 강한 G-카테고리 위에서도 G-불변 연산자들의 카테고리적 가족을 도출한다.
• 국소화 이후, 양자 Ngô 사상은 대칭 텐서 범주가 그 드리닐트 중심에 자연스럽게 포함되는 것과 동치가 되며, 기존의 구성과의 일관성을 확인한다.
• 양자 작용은 표면의 문자 다양체의 호모로지 위에 새로운 가환 대칭을 유도하며, 고전적 단일화 작용을 일반화한다.
• 아벨리안 경우(G = T)에서는 양자 Ngô 사상이 코캐릭터 격자에 대한 작용 군oids의 컨볼루션 대수를 통해 명시적으로 실현되며, 재정규화된 사타케 동치를 확인한다.