[논문 리뷰] Symmetries of the equations of motion that are not shared by the Lagrangian

G. F. Torres del Castillo, Alhan Moreno-Ruiz|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 23.

Geotechnical and Geomechanical Engineering참고 문헌 6인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 운동 방정식이 특정 변환에 대해 형식 불변성을 유지할 수 있음을 보여주며, 이는 해당 변환에 대해 라그랑지안이 불변이 아닐 수도 있음을 시사한다. 핵심 기여는 표준 노이터 논리의 역을 증명하는 것이다: 운동 방정식의 대칭성은 라그랑지안의 불변성을 의미하지는 않는다. 기계 시스템과 장 이론 모두에서 명시적인 예를 제시하며, 원천이 없는 맥스웰 방정식에 대해 라그랑지안이 로렌츠 불변이 아니지만 여전히 로렌츠 공변성 있는 운동 방정식을 도출할 수 있음을 보여준다.

ABSTRACT

We show that if a Lagrangian is invariant under a transformation (with the invariance defined in the standard manner), then the equations of motion obtained from it maintain their form under the transformation. We also show that the converse is not true, giving examples of equations of motion that are form-invariant under a transformation, but these equations can be derived from a Lagrangian that is not invariant under such transformation. The conclusions are valid for discrete or continuous systems.

연구 동기 및 목표

• 운동 방정식의 대칭성과 그에 상응하는 라그랑지안의 대칭성 간의 관계를 명확히 하며, 교과서에서 널리 퍼져 있는 오해들을 고려한다.
• 동일한 변환에 대해 라그랑지안의 불변성이 보장되지 않더라도 운동 방정식이 형식 불변성을 유지할 수 있음을 보여준다.
• 이산계와 연속계 양쪽에서 운동 방정식은 대칭이지만 라그랑지안은 그렇지 않은 명시적 반례를 제시한다.
• 특히 상대론적 장 이론, 예를 들어 맥스웰 방정식과 같은 경우에도, 라그랑지안이 로렌츠 변환에 대해 불변이 아니지만 여전히 로렌츠 공변성 있는 운동 방정식을 도출할 수 있음을 보여준다.

제안 방법

• 좌표 변환 (q′, t′) 하에서 운동 방정식의 불변성을, 새로운 변수에서 방정식의 함수적 형태가 유지되는 것으로 정의한다.
• 표준 오일러-라그랑즈 형식을 사용하여 라그랑지안 L(qi, q̇i, t)에서 운동 방정식을 유도하며, 변수를 상호 독립적으로 취급한다.
• 시간 재파arametrization를 고려한 변환된 라그랑지안 L′을 도입하여, 유도된 운동 방정식이 동치가 되도록 보장한다.
• 라그랑지안의 변환에 대한 불변성 조건을 적용한다: L′(q′i, q̇′i, t′) = L(qi, q̇i, t) × (d t / d t′), 이는 역학을 유지한다.
• 무한소 로렌츠 변환을 분석하여, 원천이 없는 맥스웰 장에 대한 비표준 라그랑지안 밀도의 불변성을 시험한다.
• 텐서 해석과 리비치비타 기호 항등식을 사용하여, 부스트에 따른 라그랑지안의 변위가 총미분 형태로 표현될 수 없음을 보여주며, 불변성에 필요한 조건을 위반함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 운동 방정식이 변환에 대해 형식 불변일 수 있음에도 불구하고, 그 기초가 되는 라그랑지안이 동일한 변환에 대해 불변이 아닐 수 있는가?
• RQ2 표준 노이터 정리 결과의 역은 참인가? 즉, 운동 방정식의 대칭성은 라그랑지안의 불변성을 의미하는가?
• RQ3 로렌츠 변환에 대해 불변이 아닌 라그랑지안이 여전히 전자기장에 대해 로렌츠 공변성 있는 운동 방정식을 도출할 수 있는가?
• RQ4 스페이스타임 대칭, 예를 들어 로렌츠 부스트와 같은 경우에 대해, 게이지 불변인 라그랑지안 밀도가 존재할 수 있는 장 이론적 예가 있는가?

주요 결과

• 라그랑지안이 불변인 변환에 대해 운동 방정식은 항상 형식 불변성을 유지한다. 이는 전통적인 교과서의 주장과 일치한다.
• 반대는 성립하지 않는다: 운동 방정식은 라그랑지안이 그 변환에 대해 불변이 아니더라도 형식 불변성을 유지할 수 있다.
• 원천이 없는 맥스웰 방정식에 대해 로렌츠 부스트에 대해 불변이 아닌 라그랑지안의 명시적 예를 제시하며, 여전히 로렌츠 공변성 있는 운동 방정식을 도출함을 보여준다.
• 라그랑지안의 로렌츠 변환에 대한 불변성은 그 변위가 총미분 형태로 표현될 수 없음을 보여줌으로써 증명되며, 이는 불변성에 필요한 조건을 위반함을 의미한다.
• 전기장 E와 자기장 B만을 사용하여 맥스웰 방정식의 비라그랑지안 형태를 제시하며, 게이지 불변성과 잠재적 문제를 피할 수 있다.
• 결과적으로, 장 이론에서 기본 대칭성을 찾는 데 있어 라그랑지안에만 국한되어서는 안 되며, 라그랑지안에는 없지만 운동 방정식에는 존재하는 대칭성이 있을 수 있음을 시사한다.