[논문 리뷰] Symmetrization of Rational Maps: Arithmetic Properties and Families of Latt\\`es Maps of $\\mathbb P^k$

Thomas Gauthier, Benjamin Hutz외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 15.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 15인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 복소수 프로젝티브 공간 $\mathbb{P}^k$의 엔도모르피즘을 $\mathbb{P}^1$ 상의 유리 함수의 대칭적 곱을 통해 연구하며, 몫 $(\mathbb{P}^1)^k / \mathfrak{S}_k \cong \mathbb{P}^k$를 통한 $f \in \mathrm{Hom}_d(\mathbb{P}^1)$에서 $F \in \mathrm{Hom}_d(\mathbb{P}^k)$로의 올림 구조를 수립한다. 주요 기여는 $k$-deep 후행 임계 유한 지도의 특성화와 고차원에서의 Latt\'es 지도 가족의 분류로, 대칭적 곱 Latt\'es 지도가 엄격하거나 3차원 모듈리 가족 내 1차원 부분가족에 속해 있음을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper we study properties of endomorphisms of $\\p^k$ using a symmetric product construction $(\\p^1)^k/\\mathfrak{S}_k \\cong \\p^k$. Symmetric products have been used to produce examples of endomorphisms of $\\p^k$ with certain characteristics, $k\\geq2$. In the present note, we discuss the use of these maps to enlighten stability phenomena in parameter spaces. In particular, we study $k$-deep post-critically finite maps and characterize families of Latt\\`es maps.

연구 동기 및 목표

• $\mathbb{P}^1$ 상의 유리 함수로부터의 대칭적 곱 구조를 이용해 $\mathbb{P}^k$의 엔도모르피즘의 역학을 이해하기.
• $k$-deep 후행 임계 유한 지도를 통해 엔도모르피즘의 매개수 공간에서의 안정성 현상 분석하기.
• $k \geq 2$인 $\mathbb{P}^k$에서의 Latt\'es 지도 가족을 대칭적 곱 올림을 통해 분류하기.
• 대칭적 곱 Latt\'es 지도가 모듈리 공간에서 엄격한지 또는 양의 차원 가족에 속하는지 결정하기.

제안 방법

• $\mathfrak{S}_k$ 작용 하에서의 몫 사상 $\eta_k: (\mathbb{P}^1)^k \to \mathbb{P}^k$를 통해 유리 함수 $f: \mathbb{P}^1 \to \mathbb{P}^1$의 대칭적 곱으로부터 엔도모르피즘 $F: \mathbb{P}^k \to \mathbb{P}^k$를 구성하기.
• $f^k$와 $F$를 연결하는 가환 다이어그램을 이용해, 몫 위의 유도된 사상으로서 대칭적 곱 지도 $F$를 정의하기.
• $j$-deep 후행 임계 유한 지도를 순환적으로 정의하며, $j$번째 임계 구역의 정방향 궤도가 순수 codimension $j+1$인 대수적 다양체임을 요구하기.
• $\mathbb{P}^2$에서의 Latt\'es 지도 분류 결과(융 펑의 결과)를 활용해 2차원에서의 대칭적 곱 Latt\'es 지도 분석하기.
• 정리 7을 적용해 기저 지도 $f$가 엄격할 경우 대칭적 곱 Latt\'es 지도의 엄격성을 도출하기.
• 대칭적 곱 Latt\'es 지도의 모듈리 차원 분석을 통해, 대칭적 곱의 최대 부분가족이 모듈리 공간에서 차원 1을 가짐을 보여주기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $\mathbb{P}^1$ 상의 Latt\'es 지도의 대칭적 곱이 $\mathbb{P}^k$에서 엄격한 Latt\'es 지도가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 $k \geq 2$인 $\mathbb{P}^k$에서 대칭적 곱 Latt\'es 지도의 모듈리 공간의 구조는 어떠한가?
• RQ3 $k$-deep 후행 임계 유한 지도는 고차원에서 Latt\'es 지도의 역학과 모듈리에 어떻게 관련되는가?
• RQ4 대칭적 곱 Latt\'es 지도는 $\mathbb{P}^2$에서 대수적 웹을 보존하는 지도로 근사될 수 있는가?
• RQ5 대칭적 곱 Latt\'es 지도가 양의 차원 가족에 속해 있는지 아니면 모듈리 공간에서 고립되어 있는지를 결정하는 요소는 무엇인가?

주요 결과

• 엄격한 $\mathbb{P}^1$ 상의 Latt\'es 지도의 대칭적 곱은 $\mathbb{P}^k$에서 엄격한 Latt\'es 지도를 유도하며, 이는 정리 7에 의해 입증된다.
• $\mathbb{P}^2$에서 대칭적 곱 Latt\'es 지도는 엄격하거나 3차원 Latt\'es 지도 모듈리 가족 내 1차원 부분가족에 속하며, 이는 추론 4.2에 의해 확인된다.
• $k=2$인 경우, 대칭적 곱 Latt\'es 지도 $F$는 엄격하거나, 매끄러운 쿠빅에 관련된 대수적 웹을 보존하는 지도로 근사될 수 있다.
• $\mathbb{P}^1$ 상의 유연한 가족 $f_\lambda$의 2중 대칭적 곱 가족은 $\mathbb{P}^2$에서의 3차원 유연한 Latt\'es 지도 가족의 1차원 부분가족을 이룬다. 이는 1차원 부분가족의 구조를 확인한다.
• 명시적 예시들은 $\mathbb{P}^1$ 상의 밀놀의 차수 2 엄격 Latt\'es 지도의 2중 대칭적 곱이 $\mathbb{P}^2$에서 엄격 Latt\'es 지도를 유도하며, 3중 대칭적 곱은 $\mathbb{P}^3$에서 엄격 Latt\'es 지도를 유도함을 보여주며, 이는 명시적인 동차 다항식 공식을 포함한다.
• 이 구조는 대칭적 곱 지도 $F$가 $\mathbb{P}^k$의 엔도모르피즘임을 보장하며, 그 역학은 기저 지도 $f$의 $\mathbb{P}^1$ 상의 역학을 반영한다.