[논문 리뷰] Symmetry adaptation in quantum chemistry calculations on a quantum computer

Ilya G. Ryabinkin, Scott N. Genin|arXiv (Cornell University)|2018. 12. 24.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 1인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 입자 수 및 스핀 대칭성을 큐비트 해밀토니안에 직접 통합함으로써 양자 컴퓨터에서의 양자 화학 계산에서 대칭성 붕괴를 방지하기 위해 대칭성 적응 기법 세 가지—대칭성 투영, 스펙트럼 이동, 스펙트럼 반사—을 제안한다. 스펙트럼 이동 방법은 잘못된 대칭성 상태를 벌금으로 처벌하여 에너지 스펙트럼의 상단으로 이동시키며, 입자 수 적응의 경우 원래 해밀토니안과 동일한 연산자 길이를 유지하면서도 계산 비용 측면에서 가장 효율적임이 입증되었다.

ABSTRACT

Quantum chemistry calculations on a quantum computer frequently suffer from symmetry breaking: the situation when a state of assumed spin and number of electrons is contaminated with contributions of undesired symmetry. The situation may even culminate in convergence to a state of completely unexpected symmetry, e.g. that of for a neutral species while a cation was expected. Previously, the constrained variational quantum eigensolver (CVQE) approach was proposed to alleviate this problem [Ryabinkin et al. (2018), J. Chem. Theory Comput. DOI:10.1021/acs.jctc.8b00943] here we analyze alternative, more robust solutions. In particular, we investigate how symmetry information can be incorporated directly into qubit Hamiltonians. We identify three essentially different techniques, the symmetry projection, spectral shift, and spectral reflection methods, which are all capable of solving the problem albeit at different computational cost, measured as the length of the resulting qubit operators. On the examples of LiH and H$_2$O molecules we show that the spectral shift method, which is equivalent to penalizing states of wrong symmetry, is the most efficient, followed by spectral reflection, and symmetry projection.

연구 동기 및 목표

• 양자 컴퓨터에서 변분 양자 고유값 해법(VQE) 계산에서 전자 수나 스핀 대칭성이 잘못된 상태가 오류로 수렴하는 문제를 해결하기 위해.
• 입자 수 및 스핀과 같은 정확한 대칭성을 큐비트 해밀토니안에 직접 통합하여 물리적으로 의미 있는 상태로 수렴하도록 보장하기 위한 방법을 개발하기 위해.
• 결과로 얻어진 큐비트 연산자 길이를 측정하여 대칭성 적응 해밀토니안의 계산 비용을 비교하기 위해.
• 근처 양자 장치에서 회로 깊이와 자원 오버헤드를 최소화하는 데 가장 효율적인 대칭성 적응 방법을 특정하기 위해.

제안 방법

• 스펙트럼 이동 방법은 대칭성 연산자 제곱에 비례하는 항을 추가함으로써 잘못된 대칭성 상태를 벌금 처리하여 에너지를 스펙트럼의 상단으로 이동시킨다 (예: $\mu(\hat{N} - n)^2$).
• 대칭성 투영 방법은 Löwdin 투영을 사용하여 해밀토니안을 원하는 대칭 부분공간으로 투영함으로써 원치 않는 상태의 기여를 효과적으로 제거한다.
• 스펙트럼 반사(Huzinaga 방식) 방법은 잘못된 대칭성 상태가 고에너지 양의 에너지로 반사되도록 해밀토니안을 변형함으로써 그 상태를 에너적으로 불리하게 만든다.
• 모든 방법은 2차 양자화 전자 해밀토니안에 적용되며, Jordan-Wigner 또는 Bravyi-Kitaev 변환을 통해 큐비트 해밀토니안으로 매핑된다.
• 각 방법의 성능은 리튬 수소화물(LiH) 및 물(H₂O)과 같은 분자의 경우 결과로 얻어진 큐비트 해밀토니안의 파울리 항 수(연산자 길이)를 비교하여 평가된다.
• 분석에는 입자 수 및 스핀 대칭성 적응이 포함되며, 스핀의 기저 상태의 경우에 특별한 주의가 기울여진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대칭성 정보를 큐비트 해밀토니안에 효과적으로 통합하여 양자 화학 시뮬레이션에서 잘못된 대칭성 상태로 수렴하는 것을 방지할 수 있는가?
• RQ2 다른 대칭성 적응 기법 간에 결과로 얻어진 연산자 길이와 계산 비용 측면에서 어떤 차이가 있는가?
• RQ3 원래 해밀토니안과 동일한 연산자 크기를 유지하면서도 대칭 제약 조건을 강제할 수 있는 방법이 존재하는가?
• RQ4 형식적으로 단순한데도 불구하고 Huzinaga 방식의 스펙트럼 반사 방법이 스펙트럼 이동 방법보다 성능이 열 劣하는 이유는 무엇인가?
• RQ5 대칭성 제약을 강제하는 것보다 제약 최적화가 더 효율적인 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 스펙트럼 이동 방법은 입자 수 적응의 경우 원래 해밀토니안과 동일한 항 수를 가진 가장 짧은 큐비트 연산자를 생성한다. 이는 $\hat{N}$ 연산자가 한 입자 연산자이기 때문이다.
• 스핀 대칭성의 경우에도 스펙트럼 이동 방법은 대칭성 투영 및 스펙트럼 반사 방법보다 여전히 우수한 성능를 보이며, 입자 수의 경우보다는 연산자 길이 증가가 더 뚜렷하다.
• Huzinaga 방식의 스펙트럼 반사 방법은 기저 상태 투영의 경우 스펙트럼 이동 방법 대비 약 3배 많은 항을 생성한다. 이는 형식적으로 4입자 연산자인데도 불구하고.
• 대칭성 투영 방법은 항상 가장 긴 연산자를 생성하며, 이는 일반적인 근처 양자 알고리즘에 있어서 가장 비효율적이므로 사용에 부적합하다.
• 스펙트럼 이동 방법은 최소한의 오버헤드로 효과적인 대칭성 강제를 달성하여 근처 양자 화학 시뮬레이션에 가장 실용적인 선택이다.
• 기저 상태 계산의 경우, 제약 최적화 접근법(참고문헌 10 참조)은 제안된 세 가지 대칭성 적응 해밀토니안 방법보다 여전히 더 효율적이다.