[논문 리뷰] Symmetry Breaking in the Congest Model: Time- and Message-Efficient Algorithms for Ruling Sets

Shreyas Pai, Gopal Pandurangan외 3명|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 01.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 7인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 컨게스트 모델에서 2- 및 3-룰링 세트를 위한 처음으로 시간 및 메시지 효율적인 알고리즘을 제시하며, 2- 및 3-룰링 세트에 대해 오랫동안 지속된 O(log n) 라운드 복잡도 장벽을 돌파한다. 3-룰링 세트의 경우 O(log n / log log n) 라운드를 달성하고, 특정 도수 조건 하에서 2-룰링 세트의 경우 o(log n) 라운드를 달성한다. 이는 오직 O(n log²n) 메시지만을 사용하며, 이는 거의 선형이며 루비의 O(m) 메시지 경계에 비해 상당한 향상이다.

ABSTRACT

We study local symmetry breaking problems in the Congest model, focusing on ruling set problems, which generalize the fundamental Maximal Independent Set (MIS) problem. The time (round) complexity of MIS (and ruling sets) have attracted much attention in the Local model. Indeed, recent results (Barenboim et al., FOCS 2012, Ghaffari SODA 2016) for the MIS problem have tried to break the long-standing O(log n)-round "barrier" achieved by Luby's algorithm, but these yield o(log n)-round complexity only when the maximum degree Delta is somewhat small relative to n. More importantly, these results apply only in the Local model. In fact, the best known time bound in the Congest model is still O(log n) (via Luby's algorithm) even for moderately small Delta (i.e., for Delta = Omega(log n) and Delta = o(n)). Furthermore, message complexity has been largely ignored in the context of local symmetry breaking. Luby's algorithm takes O(m) messages on m-edge graphs and this is the best known bound with respect to messages. Our work is motivated by the following central question: can we break the Theta(log n) time complexity barrier and the Theta(m) message complexity barrier in the Congest model for MIS or closely-related symmetry breaking problems? This paper presents progress towards this question for the distributed ruling set problem in the Congest model. A beta-ruling set is an independent set such that every node in the graph is at most beta hops from a node in the independent set. We present the following results: - Time Complexity: We show that we can break the O(log n) "barrier" for 2- and 3-ruling sets. We compute 3-ruling sets in O(log n/log log n) rounds with high probability (whp). More generally we show that 2-ruling sets can be computed in O(log Delta (log n)^(1/2 + epsilon) + log n/log log n) rounds for any epsilon > 0, which is o(log n) for a wide range of Delta values (e.g., Delta = 2^(log n)^(1/2-epsilon)). These are the first 2- and 3-ruling set algorithms to improve over the O(log n)-round complexity of Luby's algorithm in the Congest model. - Message Complexity: We show an Omega(n^2) lower bound on the message complexity of computing an MIS (i.e., 1-ruling set) which holds also for randomized algorithms and present a contrast to this by showing a randomized algorithm for 2-ruling sets that, whp, uses only O(n log^2 n) messages and runs in O(Delta log n) rounds. This is the first message-efficient algorithm known for ruling sets, which has message complexity nearly linear in n (which is optimal up to a polylogarithmic factor).

연구 동기 및 목표

• 컨게스트 모델 내에서 대칭성 해제 알고리즘의 시간 및 메시지 효율성 부족 문제, 특히 최대 독립 집합(MIS) 및 관련 문제에 대해 해결한다.
• 루비의 알고리즘이나 컨게스트 모델에서 룰링 세트에 대해 오랫동안 지속된 O(log n)-라운드 복잡도 장벽을 돌파한다. 이는 로컬 모델에서의 진전에도 불구하고 여전히 제약을 가진다.
• 메시지 효율적인 알고리즘을 개발한다. 이전 연구는 대부분 메시지 복잡도를 간과했으며, 루비의 알고리즘은 m개 간선 그래프에서 O(m) 메시지를 사용한다.
• 2-룰링 세트에 대해 거의 최적의 메시지 복잡도 O(n log²n)를 확립하며, O(m) 경계에 비해 상당히 향상된다.
• 특히 2-룰링 세트에 대해 컨게스트 모델에서 시간과 메시지 복잡도 간의 트레이드오프를 규명한다.

제안 방법

• 높은 확률(whp)으로 O(log n / log log n) 라운드 내에 실행되는 3-룰링 세트를 위한 랜덤화 분산 알고리즘을 설계하며, 새로운 샘플링 및 프루닝 기법을 사용한다.
• 2-룰링 세트에 대해 계층적 클러스터링 접근법을 도입하여, 국소 계산과 랜덤 샘플링에 의한 전역 조율을 결합함으로써, 다양한 Δ 값 범위에서 O(log n) 이하의 라운드 복잡도를 달성한다.
• 브릿지 그래프 구축을 통해 컨게스트 모델에서 MIS에 대해 Ω(n²) 메시지 복잡도 하한선을 증명한다. 이는 확률 분석과 초기하분포를 활용해 브릿지 간선 발견을 한계화한다.
• 마르코프 부등식을 적용하여 실행 중에 브릿지 간선을 발견할 확률가 o(1)임을 보이며, 분석을 위한 더 단순한 기본 그래프로의 축소를 가능하게 한다.
• 브릿지 간선이 발견되지 않는 한 알고리즘의 동작이 브릿지 그래프와 기본 그래프에서 동일하므로, 더 단순한 그래프에서 알려진 하한선을 활용할 수 있다.
• O(n log²n) 메시지를 사용하고 O(Δ log n) 라운드 내에 실행되는 랜덤화 2-룰링 세트 알고리즘을 구축한다. 이는 거의 선형 메시지 복잡도와 저도수 그래프에 대해 하위 로그 시간을 달성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 로컬 모델에서의 진전에도 불구하고, 컨게스트 모델에서 룰링 세트에 대해 O(log n) 라운드 복잡도 장벽을 돌파할 수 있는가?
• RQ2 다양한 Δ 값 범위에서 컨게스트 모델에서 2-룰링 세트 알고리즘의 o(log n) 라운드 복잡도를 달성할 수 있는가?
• RQ3 룰링 세트에 대해 컨게스트 모델에서 최적의 메시지 복잡도는 무엇이며, 이를 거의 n에 선형으로 만들 수 있는가?
• RQ4 특히 O(polylog n) 라운드와 O(n polylog n) 메시지를 동시에 달성함으로써 2-룰링 세트에 대해 시간-메시지 트레이드오프를 규명할 수 있는가?
• RQ5 로컬 모델에서 MIS에 대한 하한선을 컨게스트 모델에서 2-룰링 세트로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 컨게스트 모델에서 O(log n / log log n) 라운드를 달성하는 첫 번째 3-룰링 세트 알고리즘을 제시하며, O(log n) 장벽을 돌파한다.
• 2-룰링 세트의 경우, 임의의 ε > 0에 대해 O(log ∆ · (log n)^{1/2+ε} + log n / log log n)의 o(log n) 라운드 복잡도를 달성한다. 이는 Δ = 2^{(log n)^{1/2−ε}}일 때 하위 로그 시간이 된다.
• O(n log²n) 메시지만을 사용하는 랜덤화 2-룰링 세트 알고리즘을 제시하며, 높은 확률로 거의 선형 메시지 복잡도를 달성한다.
• 논문은 컨게스트 모델에서 MIS(1-룰링 세트)를 계산할 때 Ω(n²) 메시지 복잡도 하한선을 확립한다. 이는 랜덤화 알고리즘에도 적용된다.
• 제안된 2-룰링 세트 알고리즘의 시간 및 메시지 복잡도는 각각 O(Δ log n) 라운드와 O(n log²n) 메시지이며, 이는 이전 연구에 비해 상당한 향상이다.
• 결과는 컨게스트 모델에서 시간 및 메시지 복잡도를 동시에 개선할 수 있음을 보여주며, O(log n) 라운드와 O(m) 메시지가 본질적 한계임이라는 가정을 도전한다.