[논문 리뷰] Symmetry breaking operators for strongly spherical reductive pairs and the Gross-Prasad conjecture for complex orthogonal groups

Jan Möllers|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 17.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 20인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 강한 구면적 재수축 쌍 $(G,H)$에 대해 정칙 대칭 깨짐 연산자를 구축하며, 이들이 일반적으로 구면 주기적 계열 표현 간 $H$-상호작용 연산자의 공간을 생성함을 증명한다. 또한 복소 직교군에 대한 Gross-Prasad 추측을 증명하고, 명시적 구성과 다중도 공식을 통해 Shintani 함수 공간에 대한 하한을 제공한다.

ABSTRACT

A real reductive pair $(G,H)$ is called strongly spherical if the homogeneous space $(G imes H)/{ m diag}(H)$ is real spherical. This geometric condition is equivalent to the representation theoretic property that ${ m dim\,Hom}_H(\pi|_H, au)<\infty$ for all smooth admissible representations $\pi$ of $G$ and $ au$ of $H$. In this paper we explicitly construct for all strongly spherical pairs $(G,H)$ intertwining operators in ${ m Hom}_H(\pi|_H, au)$ for $\pi$ and $ au$ spherical principal series representations of $G$ and $H$. These so-called extit{symmetry breaking operators} depend holomorphically on the induction parameters and we further show that they generically span the space ${ m Hom}_H(\pi|_H, au)$. In the special case of multiplicity one pairs we extend our construction to vector-valued principal series representations and obtain generic formulas for the multiplicities between arbitrary principal series. As an application, we prove the Gross-Prasad conjecture for complex orthogonal groups, and also provide lower bounds for the dimension of the space of Shintani functions.

연구 동기 및 목표

• 강한 구면적 재수축 쌍 $(G,H)$에 대해 대칭 깨짐 연산자를 정의하고 구성하는 것. 여기서 동차 공간 $(G \times H)/{\rm diag}(H)$는 실구면적이다.
• 이들 연산자가 주기적 계열 표현의 유도 매개변수에 대해 정칙이며, 일반적으로 ${\rm Hom}_H(\pi|_H, \mu)$ 공간을 생성함을 보이는 것. 여기서 $\pi$는 $G$의 구면 주기적 계열 표현이고, $\mu$는 $H$의 표현이다.
• 다중도가 1인 경우에 벡터 값을 가진 주기적 계열 표현으로 이 구성의 확장을 통해 일반적인 다중도 공식을 도출하는 것.
• 결과들을 적용하여 복소 직교군에 대한 Gross-Prasad 추측을 증명하는 것.
• Shintani 함수 공간의 차원에 대한 하한을 도출하는 것.

제안 방법

• $(G \times H)/{\rm diag}(H)$가 실구면적임을 조건으로 하여 강한 구면적 재수축 쌍을 정의하며, 이는 유한차원 $H$-상호작용 공간과 동치이다.
• 구면 주기적 계열 표현 $\pi$에 대한 $G$와 $\mu$에 대한 $H$의 표현에 대해 ${\rm Hom}_H(\pi|_H, \mu)$ 내에 명시적 상호작용 연산자를 구성한다.
• 이들 대칭 깨짐 연산자가 유도 매개변수에 대해 정칙으로 의존함을 증명하여 해석적 제어를 확보한다.
• 표현 이론적 기법을 사용하여 이 연산자가 일반적으로 $H$-상호작용 사상의 전체 공간을 생성함을 보인다.
• 다중도가 1인 설정에서 벡터 값을 가진 주기적 계열 표현으로 이 구성의 확장을 통해 일반적인 다중도 공식을 도출한다.
• 결과들을 Gross-Prasad 추측에 적용하여, 복소 직교군에 대해 예상되는 다중도 구조가 성립함을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 강한 구면적 재수축 쌍 $(G,H)$에 대해 대칭 깨짐 연산자가 존재하며, 이를 일반적으로 구성할 수 있는가?
• RQ2 이들 연산자가 주기적 계열 표현의 유도 매개변수에 대해 정칙으로 의존하는가?
• RQ3 구성된 연산자가 일반적으로 ${\rm Hom}_H(\pi|_H, \mu)$ 공간을 전체적으로 생성하는가? 여기서 $\pi$는 구면 주기적 계열 표현이다.
• RQ4 다중도가 1인 경우에 벡터 값을 가진 주기적 계열 표현으로 이 구성의 확장을 통해 일반적인 다중도 공식을 도출할 수 있는가?
• RQ5 이 토대가 복소 직교군에 대한 Gross-Prasad 추측을 증명하는 데 기여하는가?

주요 결과

• 논문은 모든 강한 구면적 재수축 쌍 $(G,H)$에 대해 정칙 대칭 깨짐 연산자를 구축하며, 구면 주기적 계열 표현에 대해 ${\rm Hom}_H(\pi|_H, \mu)$ 내에 명시적 실현을 제공한다.
• 이들 연산자는 일반적으로 $H$-상호작용 사상의 공간을 생성함으로써, 일반적인 경우에서의 완전성을 확립한다.
• 다중도가 1인 설정에서 구성은 벡터 값을 가진 주기적 계열 표현으로 확장되며, 임의의 주기적 계량 표현 간의 다중도에 대한 일반적인 공식을 도출한다.
• 저자들은 개발된 토대를 사용하여 복소 직교군에 대한 Gross-Prasad 추측을 증명한다.
• 논문은 대칭 깨짐 연산자의 표현 이론적 분석을 통해 Shintani 함수 공간의 차원에 대한 하한을 확립한다.