[논문 리뷰] Symmetry Classification of Many-Body Lindbladians: Tenfold Way and Beyond

Lucas Sá, Pedro Ribeiro외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 12. 01.

Spectroscopy and Quantum Chemical Studies인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 열린 양자 시스템을 기술하는 비헤르미트리안 초연산자인 다체 리인블레안의 체계적인 대칭 분류를 수립한다. 일반적인 조건 하에서 이들은 아르트랜드-지르니바우어의 10중도와 유사한 10개의 비헤르미트리안 대칭 클래스로 분류된다. 이 분류는 보존 대칭성과 완전 양성성 조건을 충족시키며, 반유니터리 대칭과 유니터리 대칭을 기반으로 하며, 명시적 스핀체인 모델과 랜덤 매트릭스 통계를 통해 검증된다. 각 클래스는 고유한 수렴하는 수준 상관관계를 보이며, 이는 각 클래스를 특징짓는다.

ABSTRACT

We perform a systematic symmetry classification of many-body Lindblad superoperators describing general (interacting) open quantum systems coupled to a Markovian environment. Our classification is based on the behavior of the many-body Lindbladian under antiunitary symmetries and unitary involutions. We find that Hermiticity preservation reduces the number of symmetry classes, while trace preservation and complete positivity do not, and that the set of admissible classes depends on the presence of additional unitary symmetries: in their absence or in symmetry sectors containing steady states, many-body Lindbladians belong to one of ten non-Hermitian symmetry classes; if however, there are additional symmetries and we consider non-steady-state sectors, they belong to a different set of 19 classes. In both cases, it does not include classes with Kramer's degeneracy. Remarkably, our classification admits a straightforward generalization to the case of non-Markovian, and even non-trace-preserving, open quantum dynamics. While the abstract classification is completely general, we then apply it to general (long-range, interacting, spatially inhomogeneous) spin-$1/2$ chains. We explicitly build examples in all ten classes of Lindbladians in steady-state sectors, describing standard physical processes such as dephasing, spin injection and absorption, and incoherent hopping, thus illustrating the relevance of our classification for practical physics applications. Finally, we show that the examples in each class display unique random-matrix correlations. To fully resolve all symmetries, we employ the combined analysis of bulk complex spacing ratios and the overlap of eigenvector pairs related by symmetry operations. We further find that statistics of levels constrained onto the real and imaginary axes or close to the origin are not universal due to spontaneous breaking of Lindbladian PT symmetry.

연구 동기 및 목표

• 반유니터리 대칭과 유니터리 호환 변환에 대한 행동에 기반해 다체 리인블레안을 체계적으로 분류하는 것.
• 헤르미트리시 보존, 추적 보존, 완전 양성성 등의 물리적 제약 조건이 대칭 클래스의 수와 유형에 미치는 영향을 규명하는 것.
• 표준 열린 양자 시스템을 초월해 비마르코프 및 비추적 보존 동역학으로의 분류를 확장하는 것.
• 모든 10개의 클래스에서 명시적인 스핀체인 모델을 구성함으로써 분류의 물리적 관련성을 입증하는 것. 이에는 디프레이징, 스핀 주입, 비구속성 이동이 포함된다.
• 고유값 간격 비율과 고유벡터 오버랩에서 보편적인 랜덤 매트릭스 상관관계를 식별하고, 각 대칭 클래스를 구분하는 것.

제안 방법

• 반유니터리 작용(예: 시간 역전)과 유니터리 인벌루션(예: 입자-홀 대칭, 칼라 대칭)에 대한 리인블레안의 변환 성질을 이용해 대칭 분류를 유도하는 것.
• 정상 상태 영역(추가 유니터리 대칭이 존재할 수 있음)과 비정상 상태 영역을 구분하여, 각각 10개와 19개의 별개의 대칭 클래스 집합을 도출하는 것.
• 주기적 경계 조건을 갖는 장거리 상호작용 스핀-1/2 체인에 분류를 적용하며, 최근접 및 그 다음 근접 이웃 상호작용을 사용하는 것.
• 고정된 랜덤 상호작용을 갖는 디프레이징, 스핀 주입/흡수, 비구속성 이동 항을 사용해 모든 10개 클래스의 명시적 리인블레안 모델을 구성하는 것.
• 길이 L=5,6,7,8인 체인에 대해 리우빌리안 초연산자의 정확한 수치 대각화를 수행하여 고유값 스펙트럼과 고유벡터를 계산하는 것.
• 복소수 간격 비율과 대칭 작용 하에서의 고유벡터 오버랩을 사용해 부스러기 통계적 상관관계를 분석하며, 실수부 |Re(λ)|, 허수부 |Im(λ)| > 10⁻⁶ 인 고유값에 집중하여 가장자리 효과를 피하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 추적 보존, 헤르미트리시 보존, 완전 양성성 제약 조건 하에서 물리적으로 실현 가능한 다체 리인블레안이 속할 수 있는 고유한 대칭 클래스의 수는 얼마인가?
• RQ2 정상 상태 또는 비정상 상태 영역에서 추가적인 유니터리 대칭이 대칭 클래스의 허용 집합에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ3 헤르미트리안 해밀토니안의 십중도 분류가 비헤르미트리안 리인블레안으로 확장 가능한가? 만약 가능하다면, 그 차이는 무엇인가?
• RQ4 각 클래스의 리인블레안 고유값 통계는 보편적인 랜덤 매트릭스 상관관계를 보이며, 스펙트럼 및 고유벡터 통계로 각 클래스를 식별할 수 있는가?
• RQ5 리인블레안 PT 대칭이 실수축 또는 원점 근처에서 비보편적 행동을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 추가적인 유니터리 대칭이 없거나 정상 상태 영역에서는 다체 리인블레안이 10개의 비헤르미트리안 대칭 클래스 중 하나에 속하며, 크라머스 degeneracy를 보이지 않는다.
• 비정상 상태 영역에서 추가적인 유니터리 대칭이 포함되면, 다른 19개의 허용 대칭 클래스 집합이 도출된다.
• 헤르미트리시 보존은 대칭 클래스의 수를 감소시키지만, 추적 보존과 완전 양성성은 추가 제약 조건을 부과하지 않는다.
• 디프레이징, 스핀 주입/제거, 비구속성 이동을 포함한 모든 10개 클래스에서 명시적 모델을 구성하여 분류의 물리적 관련성을 확인하였다.
• 각 대칭 클래스는 고유값 간격 비율과 고유벡터 오버랩에서 고유한 랜덤 매트릭스 상관관계를 보이며, 이 통계는 부스러기 영역에서 강인하다.
• 실수축 또는 원점 근처의 수준 통계는 리인블레안 PT 대칭의 자발적 위반으로 인해 비보편적이며, 이들 영역에서 보편성의 붕괴를 시사한다.