[논문 리뷰] Symmetry, Defects, and Gauging of Topological Phases

Maissam Barkeshli, Parsa Bonderson외 2명|arXiv (Cornell University)|2014. 10. 16.

Quantum, superfluid, helium dynamics인용 수 90

한 줄 요약

이 논문은 2+1차원 양자 위상상에서 대칭 분수화와 결함을 분류하기 위한 종합적인 프레임워크를 개발한다. 대칭이 풍부해진 위상상의 구조를 기술하기 위해 위상 대칭군과 $G$-교차 브레드 텐서 범주 $\mathcal{C}_G^\times$를 도입한다. 전역 대칭과 게이지화 사이의 이중성을 확립하여, 외재적 결함이 게이지화됨에 따라 분리된 쿼웨이파티클이 되며, 이로 인해 새로운 위상상 $\mathcal{C}/G$ 가 형성됨을 보여준다. 주요 기여는 임의의 대칭군, 포함된 anyon과 반단위 대칭을 포함한 아벨리안 및 비아벨리안 위상상에서 결함, 융합 규칙, 브레딩, 모듈라 데이터를 통합적으로 분류하는 대수적 이론을 제공하는 것이다.

ABSTRACT

We examine the interplay of symmetry and topological order in $2+1$ dimensional topological phases of matter. We present a definition of the topological symmetry group, which characterizes the symmetry of the emergent topological quantum numbers of a topological phase $\mathcal{C}$, and we describe its relation with the microscopic symmetry of the underlying physical system. We derive a general framework to classify symmetry fractionalization in topological phases, including phases that are non-Abelian and symmetries that permute the quasiparticle types and/or are anti-unitary. We develop a theory of extrinsic defects (fluxes) associated with elements of the symmetry group, which provides a general classification of symmetry-enriched topological phases derived from a topological phase of matter $\mathcal{C}$ with symmetry group $G$. The algebraic theory of the defects, known as a $G$-crossed braided tensor category $\mathcal{C}_{G}^{ imes}$, allows one to compute many properties, such as the number of topologically distinct types of defects associated with each group element, their fusion rules, quantum dimensions, zero modes, braiding exchange transformations, a generalized Verlinde formula for the defects, and modular transformations of the $G$-crossed extensions of topological phases. We also examine the promotion of the global symmetry to a local gauge invariance, wherein the extrinsic $G$-defects are turned into deconfined quasiparticle excitations, which results in a different topological phase $\mathcal{C}/G$. A number of instructive and/or physically relevant examples are studied in detail.

연구 동기 및 목표

• 위상상 $\mathcal{C}$ 내에서 위상 양자수의 기원 대칭을 기술하는 위상 대칭군을 정의하고 특성화함으로써, 미세 구조적 세부 사항과는 독립적인 기원 대칭을 기술한다.
• 비아벨리안 anyon과 anyon 유형을 순열하거나 반단위 대칭일 수 있는 임의의 대칭군을 포함한 위상상에서의 대칭 분수화를 일반적으로 분류하는 방법을 개발한다.
• 대칭군 $G$의 원소와 관련된 외재적 결함 이론을 구축하여 대칭이 풍부해진 위상상의 분류를 가능하게 한다.
• 전역 대칭과 게이지화 사이의 이중성을 확립하여, 게이지화된 위상상 $\mathcal{C}/G$ 에서 외재적 결함이 분리된 쿼웨이파티클이 되는 과정을 보여준다.
• 특수한 $G$-교차 브레드 텐서 범주를 통한 체계적인 대수적 프레임워크를 제공하여, 결함 융합 규칙, 양자 차원, 브레딩 통계, 모듈라 데이터를 계산한다.

제안 방법

• 위상상 $\mathcal{C}$ 내에서 기원 대칭을 기술하는 위상 대칭군을 도입하여, 미세 구조적 대칭과는 별개로 기원 대칭을 기술한다.
• $G$-교차 브레드 텐서 범주 $\mathcal{C}_G^\times$ 를 구성하여 대칭군 $G$ 와 관련된 모든 결함의 대수적 기하학적 구조, 즉 융합과 브레딩을 기술한다.
• $G$-교차 구조를 활용하여 결함 anyon에 대한 일반화된 버린드 공식을 유도하고, 양자 차원과 위상 스핀을 계산한다.
• 위상상의 $G$-교차 확장을 위한 모듈라 $S$ 및 $T$ 행렬을 계산하는 데 이 프레임워크를 적용하여 anyon 브레딩과 위상 순서의 연구를 가능하게 한다.
• 외재적 $G$-결함이 게이지화 과정에서 분리된 anyon으로 변환됨을 보여주는 이중성 관계를 분석하고, 이로 인해 새로운 위상상 $\mathcal{C}/G$ 가 형성됨을 밝힌다.
• 비아벨리안 위상상과 반단위 대칭을 포함한 구체적인 예제에 이 이론을 적용하여, 그 일반성과 예측 능력을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 위상상의 기원 대칭은 그 미세 구조적 실현 방식과는 독립적으로 어떻게 대수적으로 기술할 수 있는가?
• RQ2 임의의 대칭군을 가진 위상상에서 대칭 결함의 융합과 브레딩을 지배하는 완전한 대수적 구조는 무엇인가?
• RQ3 전역 대칭의 게이지화가 외재적 결함을 분리된 anyon으로 변환하는 방식은 어떻게 되며, 이로 인해 형성되는 게이지화된 위상상 $\mathcal{C}/G$ 의 위상 순서는 어떠한가?
• RQ4 위상상의 $G$-교차 확장에서 결함 anyon에 대한 일반화된 버린드 공식은 무엇인가?
• RQ5 반단위 대칭과 anyon을 순열하는 대칭은 대칭이 풍부해진 위상 순서의 구조에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 위상 대칭군은 미세 구조 해밀토니안과는 독립적으로 위상 양자수의 기원 대칭을 정확하게 기술한다.
• $G$-교차 브레드 텐서 범주 $\mathcal{C}_G^\times$ 는 결함의 융합 규칙, 양자 차원, 브레딩 통계를 포함하여 모든 종류의 결함을 완전히 분류한다.
• 각 군 원소와 관련된 위상적으로 다른 결함 유형의 수는 $\mathcal{C}_G^\times$ 의 구조에 의해 결정되며, 일반화된 버린드 공식을 통해 명시적으로 계산 가능하다.
• 전역 $G$-대칭의 게이지화 과정은 외재적 결함을 분리된 anyon으로 변환시키며, 이로 인해 위상 순서가 수정된 새로운 위상상 $\mathcal{C}/G$ 가 형성된다.
• $\mathcal{C}_G^\times$ 에서 기반하여 $G$-교차 확장의 모듈라 $S$ 및 $T$ 행렬을 대수적으로 계산할 수 있으며, 이는 anyon 브레딩과 위상 불변량의 연구를 가능하게 한다.
• 이 프레임워크는 비아벨리안 위상상과 anyon 유형을 순열하거나 반단위 대칭일 수 있는 대칭에 대해 동일하게 적용되며, 광범위한 일반성을 입증한다.