[논문 리뷰] Symmetry-enriched topological order in tensor networks: Defects, gauging and anyon condensation

Dominic J. Williamson, Nick Bultinck외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 11. 21.

Quantum many-body systems인용 수 38

한 줄 요약

이 논문은 대칭이 부여된 위상적(SET) 순서를 기술하기 위해 등급을 부여한 행렬 곱 연산자(MPO) 대수를 사용하는 텐서 네트워크 프레임워크를 제안한다. 이는 대칭 도메인 벽과 anyon 결함을 기술하며, 등급을 부여한 유니터리 융합 카테고리와의 연결을 수립하고, 게이징과 anyon 응집을 통해 탄생하는 위상적 순서를 유도하며, 모듈러 데이터와 결함 선택 섹터를 계산하기 위한 다이어그램 계산법을 제공한다.

ABSTRACT

We study symmetry-enriched topological order in two-dimensional tensor network states by using graded matrix product operator algebras to represent symmetry induced domain walls. A close connection to the theory of graded unitary fusion categories is established. Tensor network representations of the topological defect superselection sectors are constructed for all domain walls. The emergent symmetry-enriched topological order is extracted from these representations, including the symmetry action on the underlying anyons. Dual phase transitions, induced by gauging a global symmetry, and condensation of a bosonic subtheory, are analyzed and the relationship between topological orders on either side of the transition is derived. Several examples are worked through explicitly.

연구 동기 및 목표

• 등급을 부여한 행렬 곱 연산자(MPO) 대수를 사용하여 2차원 시스템에서 대칭이 부여된 위상적(SET) 순서를 체계적으로 기술하는 것.
• MPO의 대수적 구조를 통해 SET 순서와 등급을 부여한 유니터리 융합 카테고리 간의 대응을 수립하는 것.
• MPO 표현과 결함 선택 섹터로부터 유도된 잠재적 위상적 순서와 anyon 위상에서의 대칭 작용을 유도하는 것.
• 게이징을 통한 국소 대칭의 전환과 anyon 응집을 통해 이중 위상 전이를 분석하고, 이를 모리타 동치를 통해 연결하는 것.
• SET 상에서 모듈러 행렬과 위상적 얽힘 엔트로피와 같은 위상적 불변량을 계산하기 위한 다이어그램 계산법을 구축하는 것.

제안 방법

• 등급을 부여한 유니터리 융합 카테고리에서 유래한 입력 데이터를 사용하여 대칭이 부여된 스트링넷 텐서 네트워크를 구성하고, 군-지퍼 조건을 만족하는 MPO 텐서를 정의한다.
• 위상적 순서와 anyon 위상에서의 대칭 작용과의 일관성을 확보하기 위해 MPO에 대한 '끌어당기기' 식을 구현한다.
• 결함 튜브 대수를 정의하여 대칭 도메인 벽의 선택 섹터를 분류하고, 기약 중심 아이소턴트(ICI)를 사용하여 블록 대각화한다.
• 편향된 $\tilde{\rho}$-최소로 얽힌 상태 $\tilde{\rho}$-교차 모듈러스 행렬을 도출하여 대칭으로 뒤틀린 위상적 순서를 특성화한다.
• $\tilde{\rho}$-교차 모듈러스 행렬을 사용하여 결함 anyon에 대한 위상적 얽힘 엔트로피와 융합 규칙을 계산한다.
• MPO 대수 간의 모리타 동치를 적용하여 게이징과 이중적인 anyon 응집 상전이를 분류하고, 경계 CFT에 대한 일반화된 이상 상관관계를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 등급을 부여한 MPO 대수를 사용하여 텐서 네트워크 상태에서 대칭이 부여된 위상적 순서를 어떻게 체계적으로 기술할 수 있는가?
• RQ2 SET 상에서 대칭 도메인 벽의 대수적 구조는 무엇이며, 등급을 부여한 유니터리 융합 카테고리와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 텐서 네트워크 상태와 위상적 상전이의 맥락에서, 국소 대칭의 게이징과 anyon 응집은 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 결함 튜브 대수는 어떤 역할을 하며, SET 순서에서 선택 섹터 분류와 위상적 불변량 계산에 어떻게 기여하는가?
• RQ5 SET 텐서 네트워크에서 유도된 일반화된 이상 상관관계는 어떤 알려진 통계역학 모형과 경계 CFT를 어떻게 재현하는가?

주요 결과

• 논문은 $\tilde{\rho}$-등급을 부여한 MPO 대수와 $\tilde{\rho}$-등급을 부여한 유니터리 융합 카테고리 사이의 직접적인 대응을 수립하여, SET 순서의 텐서 네트워크 실현을 제공한다.
• 기약 중심 아이소턴트(ICI)를 사용하여 결함 튜브 대수를 블록 대각화함으로써, 대칭 도메인 벽의 선택 섹터 분류가 가능해졌다.
• $\tilde{\rho}$-교차 모듈러스 행렬이 유도되었으며, 이는 국소 대칭이 존재하는 조건에서 anyon의 대칭으로 뒤틀린 끈다리 및 융합 규칙을 포함하고 있음을 보여주었다.
• 결함 선택 섹터의 위상적 얽힘 엔트로피가 계산되었고, 그 값이 기대되는 값인 $ \tilde{\rho} \times \text{rank}(\tilde{\rho}) \times \text{log} d $ 와 일치함을 입증하였다. 여기서 $ d $ 는 양자 차원이다.
• MPO 대수 간의 모리타 동치를 통해 게이징과 이중적인 anyon 응집 상전이가 분류되었으며, 이중 세미온 모델으로의 전이를 포함한 명시적 예시가 제시되었다.
• SET 텐서 네트워크에서 유도된 일반화된 이상 상관관계는 이소프와 $\bbZ_3$ 푸츠 모델과 같은 알려진 모델을 재현하였으며, 경계 CFT와 고립된 SET 상을 연결지었다.