[논문 리뷰] Symmetry exploitation for Online Machine Covering with Bounded Migration

Waldo Gálvez, José A. Soto외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 12. 06.

Optimization and Search Problems인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 이주 비용이 제한된 환경에서 기계 커버링 문제에 대해 경쟁적 온라인 알고리즘을 설계하기 위해 대칭을 활용하는 새로운 라운딩 기법을 제안한다. 이 기법은 Õ(1/ε³)의 이주 비용을 사용하여 (4/3 + ε)-경쟁률을 달성하며, 기하학적으로 라운딩된 작업 집합의 구조적 성질을 정교하게 관리함으로써 이전 결과보다 크게 향상된다.

ABSTRACT

Online models that allow recourse are highly effective in situations where classical models are too pessimistic. One such problem is the online machine covering problem on identical machines. In this setting, jobs arrive one by one and must be assigned to machines with the objective of maximizing the minimum machine load. When a job arrives, we are allowed to reassign some jobs as long as their total size is (at most) proportional to the processing time of the arriving job. The proportionality constant is called the migration factor of the algorithm. Using a rounding procedure with useful structural properties for online packing and covering problems, we design first a simple $(1.7 + \varepsilon)$-competitive algorithm using a migration factor of $O(1/\varepsilon)$ which maintains at every arrival a locally optimal solution with respect to the Jump neighborhood. After that, we present as our main contribution a more involved $(4/3+\varepsilon)$-competitive algorithm using a migration factor of $ ilde{O}(1/\varepsilon^3)$. At every arrival, we run an adaptation of the Largest Processing Time first (LPT) algorithm. Since the new job can cause a complete change of the assignment of smaller jobs in both cases, a low migration factor is achieved by carefully exploiting the highly symmetric structure obtained by the rounding procedure.

연구 동기 및 목표

• 이주 비용이 제한된 환경에서 온라인 기계 커버링 문제의 최고 성능 비율과 이론적 하한 사이의 격차를 메우기 위해.
• 동적 작업 도착 상황에서도 높은 경쟁성을 유지할 수 있는 이주 효율적인 알고리즘을 개발하기 위해.
• 기하학적으로 라운딩된 작업 인스턴스의 구조적 대칭성을 활용하여 재할당 비용을 최소화하기 위해.
• 일정한 이주 비용 요건 하에서 이전의 최고 성능 비율 2를 초월하기 위해.

제안 방법

• 작업 처리 시간이 [εOPT, OPT] 범위 내에서 구조적 대칭성을 유지하는 기하학적 라운딩 절차를 도입한다.
• 낮은 이주 비용으로 경쟁성을 유지하기 위해 점프 이웃 영역 내에서 국소 최적 해를 유지한다.
• 각 작업 도착 후에 수정된 최대 처리 시간(LPT) 규칙을 적용하여 작업을 효율적으로 재할당한다.
• 다중집합의 하중 유일성 보조정리를 활용하여 서로 다른 작업 조합이 갖는 총 하중이 모두 다를 수 있도록 보장함으로써 상태 추적을 효율적으로 수행한다.
• 분할 정복 분석과 대칭성을 활용하여, 잠재적으로 큰 재할당이 발생하더라도 이주 비용을 제한한다.
• 들어오는 작업의 크기에 따라 이주 가능한 작업 수를 정교하게 제어함으로써 Õ(1/ε³)의 이주 비용을 설계한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이주 비용이 제한된 환경에서 온라인 기계 커버링 문제에서 2 이하의 경쟁 비율을 달성할 수 있는가?
• RQ2 라운딩된 작업 인스턴스의 대칭성을 어떻게 활용하여 이주 비용을 줄일 수 있는가?
• RQ3 이주 비용이 다항식 이하일 경우, 이주 비용이 제한된 모델에서 (4/3 + ε)-경쟁 비율을 달성할 수 있는가?
• RQ4 어떤 작업 집합의 구조적 성질이 낮은 이주 비용으로 효율적인 재할당을 가능하게 하는가?
• RQ5 일정한 이주 비용에서 20/19의 하한을 향상시킬 수 있으며, 만약 가능하면 어떤 조건에서 가능할까?

주요 결과

• 논문은 Õ(1/ε³)의 이주 비용을 사용하는 (4/3 + ε)-경쟁 알고리즘을 제시하며, 이는 이전의 최고 성능 비율 2보다 크게 향상된 결과이다.
• 모든 작업 도착 시점에서 점프 이웃 영역 내에서 국소 최적성을 유지함으로써 높은 경쟁성을 확보한다.
• 기하학적 라운딩 기법을 통해 총 하중이 ≤ OPT인 서로 다른 다중집합의 작업 조합이 서로 다른 총 합을 가지도록 보장하여 효율적인 상태 표현이 가능해진다.
• 라운딩된 작업 집합의 대칭성을 활용함으로써 이주 비용을 낮추고, 지수적 상태 폭발을 방지한다.
• 일정한 이주 비용에서의 하한을 이전의 20/19에서 17/16으로 향상시켰으며, 이는 일정한 이주 비용 하에서 (17/16 − ε)-경쟁 알고리즘이 존재하지 않음을 보여준다.
• 결과적으로 (1 + ε)-경쟁 비율은 일정한 이주 비용 하에서는 달성 불가능하지만, Õ(1/ε³)의 이주 비용을 통해 거의 최적의 (4/3 + ε) 비율을 달성할 수 있음을 입증한다.