[논문 리뷰] Symmetry of Berry and spin Berry curvatures in ferromagnetic CoPt

Guanxiong Qu, Kohji Nakamura외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 17.

Graphene research and applications참고 문헌 1인용 수 3

한 줄 요약

이 연구는 베리 곡률과 스핀 베리 곡률의 최초 원리 계산을 통해 페로자성 L1₀-CoPt 내부의 고유한 비정상 홀 도전도와 스핀 홀 도전도를 조사한다. 그 결과, 결정의 C₄ᵥ 대칭성을 유지하는 베리 곡률와는 달리, 반대 스핀 성질을 가진 밴드 교차점으로 인해 스핀 베리 곡률은 C₂ᵥ 대칭성이 감소함을 밝혀내었으며, 이는 스핀 극화도 P를 고려한 단순한 스케일링 관계 σ_AH = Pσ_SH 가 성립하지 않음을 시사한다.

ABSTRACT

The intrinsic spin Hall conductivity and the anomalous Hall conductivity of ferromagnetic L1$_0$-CoPt are studied using first principle calculations of the spin Berry and Berry curvatures, respectively. We find that the Berry curvature and the spin Berry curvature exhibit different symmetry with respect to that of the band structure. The Berry curvature preserves the $C_{4v}$ crystal rotation symmetry along the c-axis whereas the symmetry of the spin Berry curvature reduces to $C_{2v}$. Contributions to the Berry curvature and the spin Berry curvature are classified by the spin character of bands crossing the Fermi level. We find that the reduced symmetry of the spin Berry curvature is due to band crossing points with opposite spin characters. From model Hamiltonian analyses, we show the universality of this distinct symmetry reduction of the spin Berry curvature with respect to the Berry curvature: it can be accounted for based on the form of spin current operator and velocity operator in the Kubo formula. Finally, we discuss the consequence of the reduced symmetry of the spin Berry curvature on the relationship between the anomalous Hall and spin Hall conductivity. When band crossing points with opposite spin characters are present in the reciprocal space, which is often the case, the anomalous Hall conductivity does not simply scale with the spin Hall conductivity with the scaling factor being the spin polarization at the Fermi level.

연구 동기 및 목표

• 페로자성 L1₀-CoPt에서 고유한 비정상 홀 도전도(AHC)와 스핀 홀 도전도(SHC)를 조사하기 위해.
• 모멘텀 공간에서 결정 대칭성에 대해 베리 곡률과 스핀 베리 곡률의 대칭 성질을 분석하기 위해.
• 스핀 베리 곡률의 대칭성 붕괴의 근본 원인을 이해하고, AHC와 SHC 간의 관계에 미치는 영향을 분석하기 위해.
• 비제로 스핀 궤도 결합이 존재하는 페로자성 체계에서 두 전류 모델과 스케일링 관계 σ_AH = Pσ_SH 의 타당성을 테스트하기 위해.
• 모델 해밀토니안 분석을 통해 스핀 베리 곡률의 대칭성 감소가 보편적인가를 규명하기 위해.

제안 방법

• 교환-상관 에너지를 위해 일반화된 기울기 근사(GGA)를 사용한 전역 포텐셜 선형화된 평면파(FLAPW) 방법을 활용한 최초 원리 밀도함수이론(DFT) 계산.
• 제로 온도 근사를 통해 페르미-디랙 분포를 단순화하고, 두 번째 변분 방법을 통해 스핀 궤도 결합을 포함.
• 스펙트럼 표현에서 쿠보 공식을 사용해 베리 곡률과 스핀 베리 곡률을 계산하며, 속도 및 스핀 전류 연산자는 일반화된 속도 연산자 vᵢ^α = ½{σ^α, vᵢ}를 통해 정의.
• 모멘텀 공간에 곡률을 투영하여 전반적인 대칭 성질을 분석하고, 수렴성을 확보하기 위해 k-공간 샘플링을 최대 70×70×70까지 수행.
• Fermi 수준을 가로지르는 밴드의 스핀 성질에 따라 기여를 분류(클래스 I: 순수 스핀, 클래스 II: 혼합 스핀).
• 일반화된 속도 및 스핀 전류 연산자의 비대칭 행렬 요소에 기인한 스핀 베리 곡률의 대칭성 감소가 보편적임을 보여주기 위해 최소 모델 해밀토니안을 구성.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 L1₀-CoPt에서 베리 곡률의 대칭성은 체계의 결정 대칭성과 어떻게 비교되는가?
• RQ2 왜 동일한 물질에서 베리 곡률(C₄ᵥ)에 비해 스핀 베리 곡률은 감소된 대칭성(C₂ᵥ)을 나타내는가?
• RQ3 특히 밴드 구조적 특성과 관련하여 스핀 베리 곡률의 대칭성 붕괴의 미세한 기원은 무엇인가?
• RQ4 반대 스핀 성질을 가진 밴드 교차점은 비정상 홀 도전도와 스핀 홀 도전도 간의 관계에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 기본적인 두 전류 모델이 σ_AH = Pσ_SH 를 가정할 때, 페로자성 CoPt에서 고유한 AHC와 SHC를 기술하는 데 얼마나 실패하는가?

주요 결과

• 베리 곡률은 L1₀-CoPt 결정의 c축을 따라 C₄ᵥ 회전 대칭성을 유지하며, 이는 밴드 구조의 대칭성과 일치한다.
• 스핀 베리 곡률은 C₄ᵥ 작용에 대해 Ω_yx³⁰(Λk) ≠ Ω_yx³⁰(k) 를 만족함으로써 C₂ᵥ 대칭성이 감소한 것으로 나타나, 대칭성 붕괴가 확인된다.
• 스핀 베리 곡률의 대칭성 감소는 반대 스핀 성질을 가진 밴드 교차점(클래스 II 상태)에서 기인하며, 이는 일반화된 속도 및 스핀 전류 연산자의 비대칭 행렬 요소의 차이에서 기인한다.
• 고유한 비정상 홀 도전도(σ_AH)는 -3 S/cm이며, 스핀 홀 도전도(σ_SH)는 787 S/cm이며, 스핀 극화도 P ≈ 0 이므로 단순한 스케일링 관계 σ_AH = Pσ_SH 는 성립하지 않는다.
• 페로자성체에서 Fermi 수준 근처에 널리 퍼져 있는 클래스 II 상태는 속도 및 스핀 전류 연산자 간의 비트리비어한 상호작용을 유도하며, 이는 AHC와 SHC 간의 난이한 스케일링 관계를 붕괴시킨다.
• 모델 해밀토니안 분석은 스핀 베리 곡률의 대칭성 감소가, 대칭 작용에 대한 속도 및 스핀 전류 연산자의 변환 성질의 차이에 뿌리를 두고 있으며, 이는 보편적임을 확인한다.