[논문 리뷰] Symmetry protected topological orders and the cohomology class of their symmetry group

Xie Chen, Zheng‐Cheng Gu외 2명|arXiv (Cornell University)|2011. 06. 23.

Quantum many-body systems인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 d차원 공간에서 상호작용하는 보소닉 대칭 보호 양자 위상(SPT)을 대칭군 G에 대한 G-모듈 U_T(1) 위에서의 Borel (1+d)-군 코homology 클래스 H^{1+d}[G, U_T(1)]로 분류한다. 이는 서로 다른 SPT 위상이 이 코homology 군의 원소와 대응됨을 보이며, 해밀토니안 대칭 G_H와 지상 상태 대칭 G_Ψ를 고려한 삼중체 (G_H, G_Ψ, H^{1+d}[G_Ψ, U_T(1)])를 통해 대칭 깨짐을 고려한 단거리 얽힘 위상으로 일반화한다.

ABSTRACT

Symmetry protected topological (SPT) phases are gapped short-range-entangled quantum phases with a symmetry G. They can all be smoothly connected to the same trivial product state if we break the symmetry. The Haldane phase of spin-1 chain is the first example of SPT phase which is protected by SO(3) spin rotation symmetry. The topological insulator is another exam- ple of SPT phase which is protected by U(1) and time reversal symmetries. It has been shown that free fermion SPT phases can be systematically described by the K-theory. In this paper, we show that interacting bosonic SPT phases can be systematically described by group cohomology theory: distinct d-dimensional bosonic SPT phases with on-site symmetry G (which may contain anti-unitary time reversal symmetry) can be labeled by the elements in H^{1+d}[G, U_T(1)] - the Borel (1 + d)-group-cohomology classes of G over the G-module U_T(1). The boundary excitations of the non-trivial SPT phases are gapless or degenerate. Even more generally, we find that the different bosonic symmetry breaking short-range-entangled phases are labeled by the following three mathematical objects: (G_H, G_{\Psi}, H^{1+d}[G_{\Psi}, U_T(1)], where G_H is the symmetry group of the Hamiltonian and G_{\Psi} the symmetry group of the ground states.

연구 동기 및 목표

• 현장 대칭 G를 가진 상호작용 보소닉 대칭 보호 양자 위상(SPT)을 d차원에서 체계적으로 분류하는 것, 특히 반단위 시간 역전 대칭을 포함한 경우를 포함한다.
• 기존에 K-이론으로 기술된 자유 페르미온 SPT 위상과 상호작용 보소닉 SPT 위상을 통합하는 수학적 프레임워크를 수립하는 것.
• 단거리 얽힘 위상으로의 분류를 확장하여 해밀토니안 대칭과 지상 상태 대칭을 구분함으로써 대칭 깨짐 위상을 포함하는 것.
• 비자명한 SPT 위상에서 비가역 또는 degenerate 경계 모드가 나타나는 물리적 기원을 군 코homology를 통해 설명하는 것.

제안 방법

• 논문은 군 코hom로지 이론을 사용하여 d차원 보소닉 SPT 위상을 분류하며, 분류는 G가 현장 대칭군일 때 H^{1+d}[G, U_T(1)]로 주어진다.
• 단위 및 반단위 대칭을 모두 포함하는 시간 역전을 고려하기 위해 G-모듈 U_T(1)을 도입한다.
• 계산은 시스템의 힐베르트 공간에서 대칭군 G의 프로젝티브 표현을 분석함으로써 유도된다.
• 해밀토니안 대칭 군 G_H와 지상 상태 대칭 군 G_Ψ를 구분함으로써 대칭 깨짐 위상에 대한 정교한 분류가 가능하다.
• 비자명한 SPT 위상에서 비가역 또는 degenerate 경계 모드가 나타나는 이유는 비자명한 코homology 클래스에서 기인함을 이론적으로 설명한다.
• 기존의 자유 페르미온 결과(K-이론)를 상호작용 보소닉 시스템으로 일반화하여 SPT 위상의 통합적 기술을 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 d차원 공간에서 현장 대칭 G를 가진 상호작용 보소닉 SPT 위상을 어떻게 체계적으로 분류할 수 있는가?
• RQ2 특히 H^{1+d}[G, U_T(1)]와 같은 군 코homology는 이러한 위상의 위상적 순서를 어떻게 특징짓는가?
• RQ3 시간 역전과 같은 반단위 대칭은 SPT 위상의 분류에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 단거리 얽힘 위상에서 해밀토니안 대칭(G_H)과 지상 상태 대칭(G_Ψ) 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 왜 비자명한 SPT 위상은 반드시 비가역 또는 degenerate 경계 진동자를 갖는가?

주요 결과

• d차원 공간에서 상호작용하는 보소닉 SPT 위상은 대칭군 G에 대해 Borel (1+d)-군 코homology 클래스 H^{1+d}[G, U_T(1)]로 분류된다.
• 분류는 단위 및 반단위 대칭을 모두 포함하며, U_T(1)은 시간 역전과 U(1) 대칭을 코딩하는 데 사용되는 G-모듈이다.
• 비자명한 SPT 위상은 비자명한 코homology 클래스로 표시되며, 반드시 비가역 또는 degenerate 경계 모드를 갖는다.
• 삼중체 (G_H, G_Ψ, H^{1+d}[G_Ψ, U_T(1)])를 통해 대칭 깨짐 단거리 얽힘 위상으로 일반화되며, 해밀토니안 대칭과 지상 상태 대칭을 구분한다.
• 이론은 기존에 K-이론으로 기술된 자유 페르미온을 초월하여 강한 상호작용 보소닉 시스템까지 포함하는 SPT 위상의 통합적 기술을 제공한다.
• 할데인 위상과 위상 절연체는 이 일반 코homology 분류의 특수한 경우로 나타나며, 그들의 대칭(SO(3) 및 U(1)×Z_2^T)가 그 코homology 클래스를 결정한다.