[논문 리뷰] Symmetry-protected topological orders for interacting fermions -- Fermionic topological nonlinear $σ$ models and a special group supercohomology theory

Zheng‐Cheng Gu, Xiao-Gang Wen|DSpace@MIT (Massachusetts Institute of Technology)|2012. 01. 12.

Topological Materials and Phenomena인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 스핀-통합된 보존자의 대칭 보호 상태(SPT) 위상의 분류를 위해 특수 군 수퍼코homology 이론을 도입한다. 이는 보존자에 대한 군 코homology의 일반화이며, 상호작용하는 페르미온 SPT 위상을 분류한다. 논문은 페르미온 SPT 파동함수와 부스터 해밀토니안을 구성하고, 비정상적인 경계 모드를 예측하며, 자유 페르미온이나 보존자 이론으로는 실현 불가능한 새로운 3차원 및 2차원 SPT 위상(예: $Z_2^T \times Z_2^f$ 대칭을 가진 3차원 페르미온 초전도체)을 규명한다.

ABSTRACT

Symmetry-protected topological (SPT) phases are gapped short-range-entangled quantum phases with a symmetry $G$, which can all be smoothly connected to the trivial product states if we break the symmetry. It has been shown that a large class of interacting bosonic SPT phases can be systematically described by group cohomology theory. In this paper, we introduce a (special) group supercohomology theory which is a generalization of the standard group cohomology theory. We show that a large class of short-range interacting fermionic SPT phases can be described by the group supercohomology theory. Using the data of super cocycles, we can obtain the ideal ground state wave function for the corresponding fermionic SPT phase. We can also obtain the bulk Hamiltonian that realizes the SPT phase, as well as the anomalous (ie, non-on-site) symmetry for the boundary effective Hamiltonian. The anomalous symmetry on the boundary implies that the symmetric} boundary must be gapless for 1+1D boundary, and must be gapless or topologically ordered beyond 1+1D. As an application of this general result, we construct a new SPT phase in 3D, for interacting fermionic superconductors with coplanar spin order (which have $T^2=1$ time-reversal $Z_2^T$ and fermion-number parity $Z_2^f$ symmetries described by a full symmetry group $Z_2^T imes Z_2^f$). Such a fermionic SPT state can neither be realized by free fermions nor by interacting bosons (formed by fermion-pairs), and thus are not included in the K-theory classification for free fermions or group cohomology description for interacting bosons. We also construct three interacting fermionic SPT phases in 2D with a full symmetry group $Z_2 imes Z_2^f$. Those 2D fermionic SPT phases all have central-charge $c=1$ gapless edge excitations, if the symmetry is not broken.

연구 동기 및 목표

• 자유 페르미온 이론과 보존자 이론을 초월하여, 일반화된 수퍼코homology 프레임워크를 사용해 상호작용하는 페르미온 SPT 위상의 군 코homology 분류를 확장한다.
• 수퍼코사이클 데이터를 사용해 페르미온 SPT 위상의 명시적 기저 상태 파동함수와 부스터 해밀토니안을 구성한다.
• 대칭 경계가 갭이 없는 상태이거나 위상적으로 질서가 있는 상태여야 하며, 이는 이상성 보호를 암시한다.
• K-이론으로는 기술할 수 없고, 보존자 군 코homology로는 분류되지 않는 2차원 및 3차원 SPT 위상을 식별한다.
• 비국소 대칭을 가진 페르미온 위상적 비선형 $\sigma$ 모델을 통해 체계적인 장 이론 기술을 제공한다.

제안 방법

• 페르미온 편재성과 시간역전 대칭을 포함한 특수 군 수퍼코homology 이론을 개발하여 표준 군 코homology의 일반화로 활용한다.
• 수퍼코사이클을 사용해 위상적 순서와 대칭 성질을 코딩한 정확한 페르미온 SPT 상태 파동함수를 정의한다.
• SPT 위상을 실현하는 부스터 해밀토니안을 구성하며, 갭이 있는 부스터와 비국소 대칭이 작용하는 경계를 포함한다.
• 경계 효과 이론을 분석하여 비국소 대칭이 1+1차원에서는 갭이 없는 상태, 고차원에서는 위상적 질서를 암시함을 보인다.
• 특정 대칭군에 대해 이 이론을 적용하여, 3차원에서의 $Z_2^T \times Z_2^f$ 및 2차원에서의 $Z_2 \times Z_2^f$를 포함한 구체적 모델을 유도한다.
• 페르미온 비선형 $\sigma$ 모델을 사용해 이러한 SPT 위상의 장 이론을 기술하며, 위상적 성질과 대칭 이상성을 포괄한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자유 페르미온 이론과 보존자 이론을 초월하여 상호작용하는 페르미온 SPT 위상에 대한 일반적 분류 프레임워크를 개발할 수 있는가?
• RQ2 페르미온 통계와 비아벨 대칭군인 $Z_2^T \times Z_2^f$가 SPT 위상의 구조에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ3 수퍼코사이클은 페르미온 SPT 위상의 정확한 파동함수와 해밀토니안을 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 왜 페르미온 SPT 위상의 대칭 경계는 반드시 갭이 없는 상태 또는 위상적으로 질서가 있는 상태를 보이는가?
• RQ5 K-이론이나 보존자 군 코homology로는 기술할 수 없는 새로운 SPT 위상을 2차원 및 3차원에서 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 상호작용하는 페르미온 SPT 위상의 큰 범주를 분류할 수 있도록 새로운 특수 군 수퍼코homology 이론이 제안된다.
• 이 이론은 수퍼코사이클 데이터를 사용해 페르미온 SPT 상태의 명시적 파동함수와 해밀토니안을 제공한다.
• 페르미온 SPT 위상의 경계는 비정상적인(비국소적) 대칭을 보이며, 이는 1+1차원에서는 갭이 없는 상태, 고차원에서는 위상적 질서를 암시한다.
• 자유 페르미온이나 보존자 쌍으로는 실현 불가능한 $Z_2^T \times Z_2^f$ 대칭을 가진 상호작용 페르미온 초전도체를 위한 새로운 3차원 SPT 위상이 구성된다.
• $Z_2 \times Z_2^f$ 대칭을 가진 세 가지 서로 다른 2차원 페르미온 SPT 위상이 식별되었으며, 대칭이 유지될 경우 각각 중심 랭크 $c=1$의 갭이 없는 경계 모드를 가진다.
• 페르미온 위상적 비선형 $\sigma$ 모델은 이러한 SPT 위상의 장 이론 기술을 제공하며, 위상적 불변량과 대칭 이상성을 포괄한다.