[논문 리뷰] Symmetry reductions of a nonlinear option pricing model

Ljudmila A. Bordag|arXiv (Cornell University)|2006. 04. 09.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 7인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유동성 부족 효과를 모델링하는 비선형 블랙쇼울즈 방정식에 리 군 대칭 분석을 적용한다. 여기서 대규모 트레이더들의 헤징 전략이 기초 자산 가격에 영향을 미친다. 특정 매개변수 조건 하에서, 특히 λ(S) = ωS일 때, PDE를 ODE로 감소시켜 정확한 불변 해를 도출한다. 이는 선형 블랙쇼울즈 모델에 존재하지 않는 새로운 가족의 해를 포함하며, 비선형성으로 인해 ρ → 0일 때 발산한다.

ABSTRACT

The studied model was suggested to design a perfect hedging strategy for a large trader. In this case the implementation of a hedging strategy affects the price of the underlying security. The feedback-effect leads to a nonlinear version of the Black-Scholes partial differential equation. Using the Lie group theory we reduce the partial differential equation in special cases to ordinary differential equations. The found Lie group of the model equation gives rise to invariant solutions. Families of exact invariant solutions for special values of parameters are described.

연구 동기 및 목표

• 유동성 부족 효과로 인해 발생하는 비선형 편미분방정식(PDE)을 분석한다. 이는 대규모 트레이더들의 헤징 전략이 기초 자산 가격에 영향을 미치는 경우를 포함한다.
• 비선형 PDE를 특수한 매개변수 케이스로 줄이기 위해 리 군 이론을 적용한다.
• 모델 방정식의 정확한 불변 해를 분류하고 구성한다. 특히 λ(S) = ωS의 경우에 중점을 둔다.
• 이러한 해의 행동, 특히 특이점과 점 渐진적 성질을 조사한다.
• 유도된 해들이 대칭 변환에 대해 유일하며 선형 블랙쇼울즈 사례에서는 존재하지 않는다는 것을 보여준다.

제안 방법

• 연구는 비선형 PDE(1.1)의 대칭 대수를 결정하기 위해 리 점 대칭 분석을 사용한다. 이는 무한소 생성자 ξ(S,t,u), τ(S,t,u), 및 φ(S,t,u)를 식별한다.
• 벡터장의 두 번째 순열을 계산하여 임계 공간 M^(2)으로 대칭 작용을 확장함으로써 PDE의 미분 불변량을 분석할 수 있도록 한다.
• λ(S) = ωS(즉, k=1)일 경우, 두 개의 기능적으로 독립적인 불변량이 유도되며, 이는 PDE를 ODE 시스템으로 감소시키는 데 기여한다.
• 감소된 ODE는 특이점과 해의 행동을 분석하여 삼각함수 및 쌍곡함수를 통한 명시적 매개변수 해를 도출한다.
• 첫 번째 적분법을 사용하여 해를 구성하고 감소된 ODE에 대입하여 검증한다.
• q=4(즉, a=σ²/8)의 경우에 대해 불변 해의 완전한 집합을 도출하며, log S, t, 그리고 역삼각함수/쌍곡함수를 포함한 u(S,t)에 대한 명시적 공식을 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 λ(S)에 대해 비선형 옵션 가격 설정 PDE(1.1)에 존재하는 리 군 대칭은 무엇인가?
• RQ2 어떤 특정한 λ(S) 형태에서 PDE가 대칭 감소를 통해 ODE로 감소할 수 있는가?
• RQ3 감소된 ODE의 정확한 불변 해는 무엇이며, 특이점 근처에서의 행동은 어떻게 되는가?
• RQ4 이러한 해들은 선형 블랙쇼울즈 방정식의 해와 어떻게 다를까? 특히 ρ→0 근처에서의 행동을 고려한다.
• RQ5 유도된 해들은 대칭 변환에 대해 유일한가? 그리고 그 정의역은 무엇인가?

주요 결과

• λ(S) = ωS일 경우, PDE는 두 차원의 대칭 대수를 지녀, 두 개의 기능적으로 독립적인 불변량을 통해 ODE로 감소시킬 수 있다.
• 감소된 ODE는 역余kosine 및 쌍곡함수를 포함한 다양한 해를 포함하는 정확한 불변 해의 완전한 집합을 도출한다.
• 세 가지의 구분된 해 가족이 확인된다: u₁(S,t), u₂(S,t), 그리고 조각적으로 정의된 u₃,₁(S,t) 및 u₃,₂(S,t). 이 모든 해는 S > 0 및 t ≥ 0에서 정의된다.
• 해 u₁, u₂, u₃는 공통의 교차 곡선 S = const × exp(−σ²t/8)를 가지며, 이는 공통된 점 渐진적 행동을 나타낸다.
• 해들은 S = (2/|c|)^(4/3) × exp(−σ²t/8)에서 특이점이 되며, 여기서 해석적 계속이 불가능하다.
• ρ → 0일 경우, 해들은 표현식에 1/ρ 항이 존재하기 때문에 발산한다. 이는 비선형성을 확인하며 선형 사례에서는 존재하지 않음을 보여준다.