[논문 리뷰] Symmetry Resolved Entanglement of Excited States in Quantum Field Theory I: Free Theories, Twist Fields and Qubits

Luca Capizzi, Olalla A. Castro-Alvaredo외 3명|arXiv (Cornell University)|2022. 03. 23.

Quantum many-body systems인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 U(1) 대칭성을 가진 1+1차원 자유 양자장 이론의 비평형 상태에서 대칭 분해 엔트로피(SREE)에 대한 일반적인 공식을 도입한다. 이는 비틀림 장과 형상 인자 기법을 사용하여 유도되며, 비율인 전하를 가진 순간들—즉, SREE에 해당하는 것—이 쿼라파article 진동수의 수, 통계, 대칭 전하에 의해 유일하게 결정됨을 보여준다. 유한 체적 보정은 $(mL)^{-4}$ 차수에서 시작되며, 자유 보존 및 큐비트 모델을 통해 검증되었다.

ABSTRACT

The excess entanglement resulting from exciting a finite number of quasiparticles above the ground state of a free integrable quantum field theory has been investigated quite extensively in the literature. It has been found that it takes a very simple form, depending only on the number of excitations and their statistics. There is now mounting evidence that such formulae also apply to interacting and even higher-dimensional quantum theories. In this paper we study the entanglement content of such zero-density excited states focusing on the symmetry resolved entanglement, that is on 1+1D quantum field theories that possess an internal symmetry. The ratio of charged moments between the excited and grounds states, from which the symmetry resolved entanglement entropy can be obtained, takes a very simple and universal form, which in addition to the number and statistics of the excitations, now depends also on the symmetry charge. Using form factor techniques, we obtain both the ratio of moments and the symmetry resolved entanglement entropies in complex free theories which possess $U(1)$ symmetry. The same formulae are found for simple qubit states.

연구 동기 및 목표

• U(1) 대칭성을 가진 1+1차원 자유 양자장 이론의 비평형 상태에서 대칭 분해 엔트로피(SREE)에 대한 일반적인 공식을 유도하는 것.
• SREE를 계산하는 데 핵심적인 전하를 가진 순간들의 비율이 쿼라파article 진동수의 수, 통계, 대칭 전하에 어떻게 의존하는지 조사하는 것.
• 총 엔트로피를 넘어서 대칭 성분 기여를 포함한 비평형 상태에서의 초과 엔트로피를 이해하는 데 기여하는 것.
• 형상 인자 기법을 사용하여 자유 복소 보존 이론과 단순 큐비트 상태에서 유도된 공식을 검증하는 것.
• SREE의 순간 비율에 대한 유한 체적 보정의 구조를 분석하여, 첫 번째 비영 보정이 어떤 차수에서 나타나는지 밝혀내는 것.

제안 방법

• 연구는 분지점 비틀림 장과 그 상관 함수를 사용하여 대칭 분해 엔트로피 데이터를 포함하는 전하를 가진 순간 $ Z_n(\alpha) $ 를 계산한다.
• 형상 인자 기법을 사용하여 U(1) 대칭성을 가진 자유 이론에서 다중 입자 상태 간의 비틀림 장의 행렬 요소를 계산한다.
• 같은 수의 양성 전하와 음성 전하 입자를 가진 다중 입자 상태에 대해 무한 체적 형상 인자와 합산을 통해 순간 비율 $ \mathcal{Z}_n(q)/\mathcal{Z}_1^n(q) $ 를 유도한다.
• 유한 체적에서 비틀림 장의 제품 $ \langle 0 | \mathcal{T}^\alpha_n(0) \tilde{\mathcal{T}}^\alpha_n(\ell) | 0 \rangle $ 의 진공 기대값을 명시적으로 계산한다.
• 유한 체적 보정은 빠른 속도에 대한 베티 방정식을 풀고 $ 1/(mL) $ 에 대해 전개하여 평가되며, 첫 번째 비영 보정이 $ \mathcal{O}((mL)^{-4}) $ 에서 나타남을 드러낸다.
• 유도된 공식은 큐비트 모델을 통해 상호 확인되었으며, 동일한 대칭성과 진동수 구조를 가진 다양한 시스템에서 SREE 공식의 보편성이 확인되었다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1+1차원 자유 양자장 이론의 비평형 상태에서의 대칭 분해 엔트로피(SREE)는 쿼라파article 진동수의 수, 통계, 대칭 전하에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ2 전하를 가진 순간 $ Z_n(\alpha) $ 의 비율은 진동수의 수, 통계, U(1) 전하에만 의존하는 보편적인 형태로 표현될 수 있는가?
• RQ3 SREE의 순간 비율에 대한 유한 체적 보정의 구조는 어떠한가? 첫 번째 비영 보정은 어떤 차수에서 나타나는가?
• RQ4 동일한 대칭성과 진동수 구조를 가진 단순 큐비트 상태에서도 자유 장 이론과 동일한 SREE 보편 공식이 성립하는가?
• RQ5 왜 SREE 비율에 대한 첫 번째 보정이 $ \mathcal{O}((mL)^{-2}) $ 와 $ \mathcal{O}((mL)^{-3}) $ 에서 사라지며, 첫 번째 비영 보정의 기원은 무엇인가?

주요 결과

• 자유 U(1)-대칭 장 이론에서 대칭 분해 엔트로피의 전하를 가진 순간 비율은 특정 모델과 무관하게 진동수의 수, 통계, 대칭 전하에 의해 보편적으로 결정된다.
• 순간 비율에 대한 첫 번째 유한 체적 보정은 $ \mathcal{O}((mL)^{-4}) $ 차수에서 나타나며, $ \mathcal{O}((mL)^{-2}) $ 와 $ \mathcal{O}((mL)^{-3}) $ 에서는 보정이 없다. 이는 양자 수에 대한 발산하는 합의 상쇄로 인한 것이다.
• $ \mathcal{O}((mL)^{-2}) $ 와 $ \mathcal{O}((mL)^{-3}) $ 보정이 없는 것은 정수 양자 수 $ J_{i}^{\pm} $ 에 대한 합이 주기성에 의해 지수 인자에 의해 소멸되기 때문이다.
• 유도된 SREE 공식은 자유 복소 보존 장 이론과 단순 큐비트 상태 양쪽 모두에서 확인되었으며, 다양한 물리적 실현에서의 보편성을 입증하였다.
• 무한 체적 형상 인자는 $ 2s $-입자 상태에서 $ (mL)^{-2s} $ 비례하는 기여를 하며, 주요 보정은 $ s=2 $ 상태에서 기인한다.
• SREE 공식은 전하를 가진 순간의 푸리에 변환으로 표현되며, 대칭 분해 엔트로피는 역 푸리에 변환을 통해 구해지며, 이는 CFT 및 격자 결과와의 일관성을 확인한다.