[논문 리뷰] Symplectic and Poisson structures of certain moduli spaces

Johannes Huebschmann|ArXiv.org|1993. 12. 14.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 10인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 A. Weinstein의 표면 위의 평탄한 G-_bundle의 모듈리 공간에 대한 심플렉틱 구조를 개선하여, 해밀턴 G-작용을 가진 유한차원 심플렉틱 다양체 $$\mathcal{M}(\mathcal{P},G)\$$을 도입함으로써, 그 심플렉틱 축소가 모듈리 공간 $\mathrm{Rep}(\pi,G)$를 얻는다는 것을 보여준다. 주요 기여는 이 틀이 비틀린 모듈리 공간과 표준 모듈리 공간 양쪽에 계층적인 심플렉틱 구조를 제공하고, 그 각각의 계층이 유한한 심플렉틱 체적을 가짐을 증명함으로써, Narasimhan-Seshadri의 결과를 심플렉틱 축소를 통해 확장하는 것이다.

ABSTRACT

Symplectic and Poisson structures of certain moduli spaces/Huebschmann,J./ Abstract: Let $π$ be the fundamental group of a closed surface and $G$ a Lie group with a biinvariant metric, not necessarily positive definite. It is shown that a certain construction due to A. Weinstein relying on techniques from equivariant cohomology may be refined so as to yield (i) a symplectic structure on a certain smooth manifold $\Cal M(\Cal P,G)$ containing the space $ oman{Hom}(π,G)$ of homomorphisms and, furthermore, (ii) a hamiltonian $G$-action on $\Cal M(\Cal P,G)$ preserving the symplectic structure, with momentum mapping $μ\colon \Cal M(\Cal P,G) o g^*$, in such a way that the reduced space equals the space $ oman{Rep}(π,G)$ of representations. Our approach is somewhat more general in that it also applies to twisted moduli spaces; in particular, it yields the {\smc Narasimhan-Seshadri} moduli spaces of semistable holomorphic vector bundles by {\it symplectic reduction in finite dimensions}.This implies that, when the group $G$ is compact, such a twisted moduli space inherits a structure of {\it stratified symplectic space}, and that the strata of these twisted moduli spaces have finite symplectic volume.

연구 동기 및 목표

• 표면 위의 평탄한 접속의 모듈리 공간에 대해, 무한차원 게이지 이론이 아닌, 유한차원 심플렉틱 기하학적 구조를 제공하는 것.
• 모듈리 공간 $\mathrm{Rep}(\pi,G)$가 해밀턴 G-작용을 가진 매끄러운 유한차원 심플렉틱 다양체의 심플렉틱 축소로 나타남을 보여주는 것.
• G가 컴act일 경우 비틀린 모듈리 공간 $\mathrm{Rep}_X(\Gamma,G)$가 계층적인 심플렉틱 구조를 갖는다는 것을 확립하고, 그 체적이 유한함을 보이는 것.
• Weinstein의 구성에서 사용된 2형식의 기하학적 기원을, 등변 de Rham 코homology와 Maurer-Cartan 미분계산을 통해 유도함으로써 명확히 하는 것.
• 이 논문에서 구성된 운동량 맵을 통해 볼록성 정리와 코homological 기법(예: Kirwan 및 Atiyah-Bott의 방법)이 이러한 모듈리 공간에 적용될 수 있음을 보여주는 것.

제안 방법

• 해밀턴 G-작용을 지닌 매끄러운 심플렉틱 다양체 $\mathcal{M}(\mathcal{P},G)$를 구성하여, $\mathrm{Hom}(\pi,G)$가 그의 변형 수축임을 보장하는 것.
• 등변 de Rham 코homology를 사용하여, $G^{2\ell}$과 단체적 G-다양체 $NG$ 위에서 등변 형식을 정의하고 분석하는 것. 이는 이중미분 복합체 $(\Omega^{*,*}_G; d, \delta_G)$를 활용한다.
• G가 컴 pact일 경우, $r: G^{2\ell} \to G$인 단어 함수를 통해 운동량 맵 $\mu: \mathcal{M}(\mathcal{P},G) \to \mathfrak{g}^*$를 정의하는 것.
• 심플렉틱 축소 $\mu^{-1}(0)/G$가 $\mathrm{Rep}(\pi,G)$와 미분동형임을 보이고, 등변 코homology 기법을 통해 심플렉틱 구조가 유도된다는 것을 증명하는 것.
• 문헌 [22]의 계층적인 심플렉틱 공간 이론을 적용하여, 운동량 맵의 근본성에 기반해 $\mathrm{Rep}_X(\Gamma,G)$가 계층적인 심플렉틱 구조를 상속함을 증명하는 것.
• 유니터리 군 표현의 국소 모델로 축소하여, 체적이 유한한 심플렉틱 체적을 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표면 위의 평탄한 접속 모듈리 공간 $\mathrm{Rep}(\pi,G)$에 대한 심플렉틱 구조는 무한차원 게이지 이론이 아닌, 유한차원 심플렉틱 축소를 통해 어떻게 구성될 수 있는가?
• RQ2 Weinstein의 구성에서 사용된 2형식의 기하학적 기원은 무엇이며, 이를 체계적으로 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ3 중심 원소 $X$에 의해 매개화되는 비틀린 모듈리 공간 $\mathrm{Rep}_X(\Gamma,G)$도 계층적인 심플렉틱 구조를 갖는가?
• RQ4 심플렉틱 축소와 국소 모델 분석을 통해 $\mathrm{Rep}(\pi,G)$의 계층의 체적이 엄밀하게 증명될 수 있는가?
• RQ5 이러한 모듈리 공간에 대해, 볼록성 정리와 코homological 기법(예: Kirwan의 방법)은 구성된 운동량 맵을 통해 어느 정도 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 모듈리 공간 $\mathrm{Rep}(\pi,G)$는 해밀턴 G-작용을 지닌 유한차원 심플렉틱 다양체 $\mathcal{M}(\mathcal{P},G)$의 심플렉틱 축소로 실현되며, 이는 심플렉틱 구조의 유한차원 실현을 제공한다.
• G가 컴 pact일 경우 운동량 맵 $\mu: \mathcal{M}(\mathcal{P},G) \to \mathfrak{g}^*$는 근본적이며, 이는 축소된 공간이 계층적인 심플렉틱 구조를 상속함을 보장한다.
• $\mathrm{Rep}_X(\Gamma,G)$의 각 계층은 유한한 심플렉틱 체적을 갖는다. 이 결과는 유니터리 군 표현의 국소 모델로 축소하여 확립되었다.
• 이 구성은 [23]에서 사용된 2형식 $\vartheta$의 기원을 자연스럽게 등변 코homology에서 기인함을 설명하며, 이를 암시적으로 가정하는 것이 아니라 유도한다.
• 이 틀은 비틀린 모듈리 공간에도 적용되며, 이는 Narasimhan-Seshadri의 반안정 복소 벡터 다발의 모듈리 공간을 유한차원 심플렉틱 다양체의 심플렉틱 축소로 재구성한다.
• 축소된 파아슨 대수는 심플렉틱하며, 이는 그 안에 있는 카시미르 원소가 상수 외에는 존재하지 않음을 의미한다. 이는 계층적인 심플렉틱 구조의 결과이다.