[논문 리뷰] Symplectic Banach-Mazur distances between subsets of C^n

Michael Usher|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 02.

Topological and Geometric Data Analysis참고 문헌 12인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $ℂ^n$ 내 열린 리우빌 도메인에 대해 굵은 및 섬세한 심플렉틱 반이르츠-마자르 거리를 도입하며, 필터링된 등변 심플렉틱 호모로지로 이를 구분한다. 굵은 거리에서 수렴할 수 있는 수열이 섬세한 거리에서는 무한히 발산할 수 있음을 보이며, 임의의 유한 차원 $D$에 대해 $ℝ^D$의 준등거리 매장이 별형 도메인 공간에 존재함을 구축함으로써, 심플렉틱 용량을 초월한 풍부한 기하학적 복잡성을 보여준다.

ABSTRACT

Following proposals of Ostrover and Polterovich, we introduce and study "coarse" and "fine" versions of a symplectic Banach-Mazur distance on certain open subsets of $\mathbb{C}^n$ and other open Liouville domains. The coarse version declares two such domains to be close to each other if each domain admits a Liouville embedding into a slight dilate of the other; the fine version, which is similar to the distance on subsets of cotangent bundles of surfaces recently studied by Stojisavljević and Zhang, imposes an additional requirement on the images of these embeddings that is motivated by the definition of the classical Banach-Mazur distance on convex bodies. Our first main result is that the coarse and fine distances are quite different from each other, in that there are sequences that converge coarsely to an ellipsoid but diverge to infinity with respect to the fine distance. Our other main result is that, with respect to the fine distance, the space of star-shaped domains in $\mathbb{C}^n$ admits quasi-isometric embeddings of $\mathbb{R}^D$ for every finite dimension $D$. Our constructions are obtained from a general method of constructing $(2n+2)$-dimensional Liouville domains whose boundaries have Reeb dynamics determined by certain autonomous Hamiltonian flows on a given $2n$-dimensional Liouville domain. The bounds underlying our main results are proven using filtered equivariant symplectic homology via methods from prior joint work with Gutt.

연구 동기 및 목표

• 열린 리우빌 도메인에 대해 $ℂ^n$ 내에서 굵은 및 섬세한 심플렉틱 반이르츠-마자르 거리를 정의하고 연구함으로써, 고전적 반이르츠-마자르 개념을 심플렉틱 기하학으로 일반화한다.
• 특히 수열의 수렴 및 발산과 관련하여 굵은 거리와 섬세한 거리의 위상적·기하학적 차이를 조사한다.
• 고급 심플렉틱 위상수학 도구를 사용하여 섬세한 거리가 굵은 거리보다 훨씬 더 많은 구조를 포착함을 보여준다.
• $ℝ^D$의 준등거리 매장을 섬세한 거리 하에서 별형 도메인 공간에 구축함으로써 고차원 기하학적 복잡성을 드러낸다.
• 심플렉틱 용량의 프레임워크를 필터링된 등변 심플렉틱 호모로지로 확장하여, 고전적 용량이 허용하는 것보다 더 강력한 금지 조건을 도출한다.

제안 방법

• 열린 리우빌 도메인을 정의하며, 음의 시간 흐름이 도메인을 컴act 부분집합으로 압축하는 리우빌 벡터장이 존재하는 정확한 심플렉틱 다양체로 간주한다.
• 도메인의 확대에 대한 리우빌 매장의 존재성을 통해 굵은 심플렉틱 반이르츠-마자르 거리를 정의한다.
• 고전적 반이르츠-마자르 기하학에 영감을 얻어 매장의 복합에 대한 호환 조건을 추가함으로써 섬세한 거리를 구현한다.
• 경계에서의 자율 해밀턴 흐름을 이용해 $2n$차원 리우빌 도메인에서 $(2n+2)$차원 리우빌 도메인을 구성하며, 리브 역학을 제어한다.
• 필터링된 등변 심플렉틱 호모로지로 비어 있지 않은 영속 모듈러스를 탐지하고, 섬세한 거리의 하한을 유도한다.
• 콘리-젠더 지표와 스펙트럴 불변량을 사용하여 닫힌 리브 궤도를 분석하고 척도 간 호모로지 랭크의 변화를 추적한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 굵은 거리와 섬세한 거리 사이의 위상적 행동은 어떻게 다를까? 특히 수열의 수렴 및 발산 측면에서.
• RQ2 섬세한 거리는 심플렉틱 용량이나 굵은 거리가 포착하지 못하는 기하학적 복잡성을 감지할 수 있는가?
• RQ3 $ℂ^n$ 내 별형 도메인 공간이 섬세한 거리 하에서 고차원 유클리드 공간 $ℝ^D$의 준등거리 사본을 얼마나 넓게 포함할 수 있는가?
• RQ4 필터링된 등변 심플렉틱 호모로지가 고전적 용량이 실패하는 경우에 심플렉틱 매장을 구별하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 해밀턴 흐름의 비유리수 매개변수가 리브 궤도의 구조와 그에 따른 호모로지 불변량에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 굵은 거리와 섬세한 거리 사이에는 위상적으로 명백한 차이가 있다: 수열이 굵은 거리에서는 타원체로 수렴할 수 있지만, 섬세한 거리에서는 무한히 발산할 수 있다.
• 임의의 유한 차원 $D$에 대해, 별형 도메인 공간에 섬세한 거리 하에서 $ℝ^D$의 준등거리 매장이 존재함을 보이며, 이는 높은 내재 기하학적 복잡성을 시사한다.
• 섬세한 거리에 대해 다음 하한이 성립한다: \\delta_f((W_{H_{\vec{\zeta}}}^\circ,\hat{\lambda}),(W_{H_{\vec{\epsilon}}}^\circ,\hat{\lambda})) \geq \max_{1\leq m\leq D}\left(\min\left\{\frac{1}{\epsilon_{m}},\left(\frac{\zeta_{m}}{\epsilon_{m}}\right)^2\right\}\right), 이는 필터링된 등변 심플렉틱 호모로지의 스펙트럴 불변량에서 유도된다.
• 필터링된 등변 심플렉틱 호모로지로 비퇴화된 리브 궤도를 탐지하며, 이들의 Conley–Zehnder 지표가 2로 나눈 나머지가 $n$과 같고, 척도 간 지속성은 심플렉틱 매장에 강력한 금지 조건을 제공한다.
• canonical map $CH^{s}_{2-3n}(W_{H_{\vec{\epsilon}}}^\circ,\hat{\lambda})\to CH^{t}_{2-3n}(W_{H_{\vec{\epsilon}}}^\circ,\hat{\lambda})$ 는 $s<t<1$ 에서 단사적이며, 이는 주요 하한을 도출하는 데 사용된다.
• 만일 $\epsilon_m$ 이 비유리수이면, 주기 $b$ 이하의 간단한 리브 궤도의 수 중 Conley–Zehnder 지표가 $2-3n$ 인 것은 정확히 $m$ 개이며, 이 수는 $m$ 에 따라 증가하므로 호모로지 랭크를 정밀하게 제어할 수 있다.